ถ้า $A$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ$$

\left(x-1\right)^{x^{2}-5}\leq\left(x-1\right)^{2x+10}

$$เมื่อ $x>1$

แล้ว $A$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]แบ่งเป็น $3$ กรณีตามฐานเลขยกกำลัง[/STEP]
คือ

  • กรณี $0<(x-1)<1$
  • กรณี $(x-1)=1$
  • กรณี $(x-1)>1$

[STEP]แก้อสมการกรณี $0<(x-1)<1$[/STEP]
ซึ่งจะได้ $1<x<2$ โดยเมื่อปลดอสมการเลขยกกำลังแล้วต้องกลับเครื่องหมาย 

\begin{eqnarray*}
\left(x-1\right)^{x^{2}-5} & \leq & \left(x-1\right)^{2x+10}\\
x^{2}-5 & \geq & 2x+10\\
x^{2}-2x-15 & \geq & 0\\
\left(x-5\right)\left(x+3\right) & \geq & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $x\leq-3$ หรือ $x\geq5$ แต่เมื่อนำมาอินเตอร์เซคกับเงื่อนไข $1<x<2$

จะพบว่าคำตอบที่ได้ ไม่ได้ตรงกับเงื่อนไขของกรณีนี้เลย

กรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ

[STEP]แก้อสมการกรณี $(x-1)>1$[/STEP]
ซึ่งจะได้ $x>2$ โดยเมื่อปลดอสมการแล้วใช้เครื่องหมายเดิม ซึ่งจะได้  

\begin{eqnarray*}
\left(x-1\right)^{x^{2}-5} & \leq & \left(x-1\right)^{2x+10}\\
x^{2}-5 & \leq & 2x+10\\
x^{2}-2x-15 & \leq & 0\\
\left(x-5\right)\left(x+3\right) & \leq & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $-3\leq x\leq 5$ แต่เมื่อนำมาอินเตอร์เซคกับเงื่อนไขของกรณีนี้

พบว่ากรณีนี้ได้เซตคำตอบเป็น $(2,5]$

[STEP]แทนค่า $x=2$ เพื่อตรวจสอบว่าเป็นคำตอบหรือไม่[/STEP]

$$

\left(1\right)^{-1}\leq\left(1\right)^{14}

$$ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น $x=2$ ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกัน

[STEP]ยูเนี่ยนเซตคำตอบทุกกรณีเข้าด้วยกัน[/STEP]

$$A=\emptyset\cup(2,5]\cup\left\{ 2\right\} =\left[2,5\right]$$

ซึ่งเป็นสับเซตของตัวเลือกแรก

[ANS]A[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล