สำหรับ $n=1,2,3,\cdots$ กำหนดให้

\begin{eqnarray*}
x_n&=&1-\frac1n-\frac{1}{n^2}\\
y_n&=&1+\frac1n-\frac{1}{n^2}
\end{eqnarray*} 

จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้

$$\frac{y_3y_4\cdots y_n}{x_3x_4\cdots x_n} = 551$$

เฉลยละเอียด

[STEP]หารูปทั่วไปของ $\frac{y_n}{x_n}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{y_{n}}{x_{n}} & = & \frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}\times\frac{n^{2}}{n^{2}}\\
& = & \frac{n^{2}+n-1}{n^{2}-n-1}\\
& = & \frac{n^{2}+n-1}{\left(n-1\right)^{2}+\left(n-1\right)-1}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า

$$\frac{y_n}{x_n}=\frac{k_n}{k_{n-1}}$$

เมื่อ $k_n = n^2+n-1$

[STEP]คำนวณ $\frac{y_3y_4\cdots y_n}{x_3x_4\cdots x_n}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{y_{3}y_{4}\cdots y_{n}}{x_{3}x_{4}\cdots x_{n}} & = & \left(\frac{y_{3}}{x_{3}}\right)\left(\frac{y_{4}}{x_{4}}\right)\cdots\left(\frac{y_{n}}{x_{n}}\right)\\
& = & \left(\frac{k_{3}}{k_{2}}\right)\left(\frac{k_{4}}{k_{3}}\right)\cdots\left(\frac{k_{n}}{k_{n-1}}\right)\\
& = & \frac{k_{n}}{k_{2}}\\
& = & \frac{n^{2}+n-1}{2^{2}+2-1}\\
& = & \frac{n^{2}+n-1}{5}
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้สมการ $\frac{n^2+n-1}{5}=551$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{n^{2}+n-1}{5} & = & 551\\
n^{2}+n-1 & = & 2755\\
n^{2}+n-2756 & = & 0\\
\left(n-52\right)\left(n+53\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

[ANS]$n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $n=52$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหารูปทั่วไปของลำดับ