ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนสองห้อง ปรากฏว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ $40$ คะแนน  นักเรียนห้องแรกมี $50$ คน ห้องที่สองมีนักเรียน $40$ คน  ถ้าคะแนนสอบของห้องที่สองมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ $0.1$  นาย ก. เป็นนักเรียนห้องที่สองได้คะแนน $55$ คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ $1.0$  คะแนนสอบของนักเรียนแรกมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $11$ คะแนน และนาย ข. เป็นนักเรียนห้องแรกได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ $2$ แล้ว นาย ข. สอบได้กี่คะแนน

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้คะแนนของนาย ก. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้องที่สอง[/STEP]

จากสัมประสิทธิ์การแปรผันของห้องที่สอง

\begin{eqnarray*}
\frac{s_{2}}{\bar{x}_{2}} & = & 0.1\\
s_{2} & = & 0.1\bar{x}_{2}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $s_2=0.1\bar{x}_2$ ลงในสมการคำนวณค่ามาตรฐานของ ข.

\begin{eqnarray*}
z_{\text{ก}} & = & \frac{x_{\text{ก}}-\bar{x}_{2}}{s_{2}}\\
1.0 & = & \frac{55-\bar{x}_{2}}{0.1\bar{x}_{2}}\\
0.1\bar{x}_{2} & = & 55-\bar{x}_{2}\\
1.1\bar{x}_{2} & = & 55\\
\bar{x}_{2} & = & 50
\end{eqnarray*}

ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตคะแนนของนักเรียนห้องที่สองเท่ากับ $\bar{x}_2=50$

[STEP]ใช้ $\bar{x}_{\text{รวม}}$ และ $\bar{x}_2=50$ หา $\bar{x}_1$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\bar{x}_{\text{รวม}} & = & \frac{n_{1}\bar{x}_{1}+n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1}+n_{2}}\\
40 & = & \frac{50\bar{x}_{1}+40\left(50\right)}{50+40}\\
40\left(90\right) & = & 50\bar{x}_{1}+40\left(50\right)\\
\bar{x}_{1} & = & 32
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณคะแนนของนาย ข.[/STEP]

\begin{eqnarray*}
z_{\text{ข}} & = & \frac{x_{\text{ข}}-\bar{x}_{1}}{s_{1}}\\
2 & = & \frac{x_{\text{ข}}-32}{11}\\
22 & = & x_{\text{ข}}-32\\
x_{\text{ข}} & = & 54
\end{eqnarray*}

[ANS]นาย ข. สอบได้ $54$ คะแนน[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์การแปรผัน ค่ามาตรฐาน