นำข้อมูล $3$ จำนวนที่แตกต่างกันมารวมกันมีผลรวมเท่ากับ $147$  ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่ามัธยฐานและสัมประสิทธิ์ของพิสัยเท่ากับ $47$ และ $0.3$ ตามลำดับ  แล้วความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาจำนวนทั้งสาม[/STEP]

ให้จำนวนทั้งสาม คือ $a,b,c$ เรียงจากน้อยไปหามาก

เนื่องจากมัธยฐาน คือ ตัวที่อยู่ตำแหน่งตรงกลางเมื่อเรียงลำดับจากน้อยไปหามากพอดี ดังนั้นมัธยฐานจึงมีค่าเท่ากับ $b$ ซึ่งเท่ากับ $47$

จากข้อมูลสัมประสิทธิ์ของพิสัยเท่ากับ $0.3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{c-a}{c+a} & = & 0.3\\
c-a & = & 0.3c+0.3a\\
c-0.3c & = & 0.3a+a\\
0.7c & = & 1.3a\\
c & = & \frac{13}{7}a
\end{eqnarray*}

แทนค่า $b=47$ และ $c=\frac{13}{7}a$ ลงในสมการผลรวมของทั้งสามจำนวนจะได้

\begin{eqnarray*}
a+b+c & = & 147\\
a+\left(47\right)+\left(\frac{13}{7}a\right) & = & 147\\
\frac{20}{7}a & = & 100\\
a & = & 35
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a=35$ จะได้

$$c=\frac{13}{7}a=\frac{13}{7}\left(35\right)=65$$

ดังนั้น จำนวนทั้งสาม คือ

$$35, 47, 65$$

[STEP]คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวน[/STEP]

จากผลรวมทั้งสามจำนวนมีค่าเท่ากับ $147$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\bar{x} & = & \frac{147}{3}\\
& = & 49
\end{eqnarray*}

คำนวณความแปรปรวน

\begin{eqnarray*}
s^{2} & = & \frac{\left(35-49\right)^{2}+\left(47-49\right)^{2}+\left(65-49\right)^{2}}{3}\\
& = & \frac{14^{2}+2^{2}+16^{2}}{3}\\
& = & \frac{196+4+256}{3}\\
& = & \frac{456}{3}\\
& = & 152
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อมูลชุดนี้มีความแปรปรวนเท่ากับ $152$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์การแปรผัน