นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี $16$ คน ซึ่งแต่ละคนเป็นสมาชิกของชมรมธรรมะ หรือชมรมวิทยาศาสตร์ หรือชมรมศิลปะ อย่างน้อยหนึ่งชมรม และพบว่า ชมรมธรรมะและชมรมวิทยาศาสตร์มีสมาชิกจากนักเรียนกลุ่มนี้ชมรมละ $10$ คน มี $5$ คนเป็นสมาชิกชมรมศิลปะ มี $3$ คนเป็นสมาชิกของชมรมธรรมะและศิลปะ มี $2$ คนเป็นสมาชิกของชมรมศิลปะและวิทยาศาสตร์ มี $6$ คนเป็นสมาชิกของชมรมธรรมะและวิทยาศาสตร์

ต้องการเลือกผู้แทน $1$ คนของแต่ละชมรมโดยที่แต่ละคนต้องเป็นสมาชิกเพียงชมรมเดียวเท่านั้น จำนวนวิธีเลือกดังกล่าวมีทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]สรุปจำนวนสมาชิกในรูปสัญลักษณ์ของเซต[/STEP]

ให้ $B$ แทนเซตของสมาชิกชมรมธรรมะจากนักเรียนกลุ่มนี้
ให้ $A$ แทนเซตของสมาชิกชมรมศิลปะจากนักเรียนกลุ่มนี้
และให้ $S$ แทนเซตของสมาชิกชมรมวิทยาศาสตร์จากนักเรียนกลุ่มนี้

จะได้

\begin{eqnarray*}
n\left(A\cup B\cup S\right) & = & 16\\
n\left(A\right) & = & 5\\
n\left(B\right) & = & 10\\
n\left(S\right) & = & 10\\
n\left(A\cap B\right) & = & 3\\
n\left(B\cap S\right) & = & 6\\
n\left(A\cap S\right) & = & 2
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจำนวนนักเรียนในกลุ่มนี้ที่เป็นสมาชิกทั้งสามชมรม[/STEP]

สมมุติให้ $x=n\left(A\cap B\cap S\right)$ จากสูตรยูเนียนสามเซต

$$n\left(A\cup B\cup S\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)+n\left(S\right)-n\left(A\cap B\right)-n\left(A\cap S\right)-n\left(B\cap S\right)+n\left(A\cap B\cap S\right)$$

แทนค่าจำนวนสมาชิกของแต่ละเซตลงไป

\begin{eqnarray*}
n\left(A\cup B\cup S\right) & = & n\left(A\right)+n\left(B\right)+n\left(S\right)-n\left(A\cap B\right)-n\left(A\cap S\right)-n\left(B\cap S\right)+n\left(A\cap B\cap S\right)\\
16 & = & 5+10+10-3-6-2+x\\
x & = & 2
\end{eqnarray*}

จะได้จำนวนนักเรียนที่เป็นสมาชิกทั้งสามชมรมจากนักเรียนกลุ่มนี้เท่ากับ $2$ คน

[STEP]วาดเวนน์-ออยเลอร์ประกอบเพื่อหาสมาชิกในแต่ละชิ้นส่วน[/STEP]

เติมส่วนตรงกลางที่เป็นสมาชิกทั้งสามเซตก่อน

จากนั้นใช้ข้อมูลที่อินเตอร์เซคชันกันเป็นคู่ๆ เติมส่วนถัดมา

\begin{eqnarray*}
n\left(A\cap B\right) & = & 3\\
n\left(B\cap S\right) & = & 6\\
n\left(A\cap S\right) & = & 2
\end{eqnarray*} 

แล้วใช้ข้อมูลเซตเดี่ยวๆ เติมส่วนที่เหลือ

จะได้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ที่สมบูรณ์

[STEP]คำนวณวิธีเลือกสมาชิกจากส่วนที่เป็นสมาชิกเพียงชมรมเดียวของแต่ละชมรม[/STEP]

จำนวนวิธีเลือกจากชมรมธรรมะเท่ากับ $3$
จำนวนวิธีเลือกจากชมรมศิลปะเท่ากับ $2$
จำนวนวิธีเลือกจากชมรมวิทยาศาสตร์เท่ากับ $4$

ดังนั้นจำนวนวิธีเลือกชมรมละหนึ่งคนเท่ากับ

$$3\times2\times4=24$$

[ANS]$24$ วิธี[/ANS] 

ความรู้ที่ใช้ : การเลือกและการจัดกลุ่ม โจทย์ปัญหาสูตรยูเนียน