ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $x+y+z=18$, $\left(y-1\right)^{2\left(x-y\right)}=z^{x-y}$ และ $4^x=2\left(2^z\right)$  แล้วผลคูณของ $xyz$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการที่ $2$ และ $3$ หาความสัมพันธ์อย่างง่ายระหว่าง $x,y,z$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(y-1\right)^{2\left(x-y\right)} & = & z^{x-y}\\
\left[\left(y-1\right)^{2}\right]^{x-y} & = & \left[z\right]^{x-y}\\
\left(y-1\right)^{2} & = & z
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
4^{x} & = & 2\left(2^{z}\right)\\
\left(2^{2}\right)^{x} & = & 2^{1}\left(2^{z}\right)\\
2^{2x} & = & 2^{1+z}\\
2x & = & 1+z
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการสามสมการและสามตัวแปรของ $x,y,z$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x+y+z & = & 18\quad\cdots\left(1\right)\\
\left(y-1\right)^{2} & = & z\quad\cdots\left(2\right)\\
2x & = & 1+z\quad\cdots\left(3\right)
\end{eqnarray*}

จากสมการ $(2),(3)$ จะเห็นว่ามีตัวแปร $z$ ร่วมกัน ดังนั้นจึงควรหา $x$ และ $y$ ในเทอม $z$ แล้วแทนลงไปในสมการ $(1)$

จากสมการ $(2)$ ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\left(y-1\right)^{2} & = & z\\
y-1 & = & \sqrt{z}\\
y & = & \sqrt{z}+1
\end{eqnarray*}

และ

$$x=\frac{1+z}{2}$$

แทนค่าลงในสมการ $(1)$ แล้วคูณสองตลอด

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{1+z}{2}\right)+\left(\sqrt{z}+1\right)+z & = & 18\\
\left(1+z\right)+\left(2\sqrt{z}+2\right)+2z & = & 36\\
3z+2\sqrt{z}-33 & = & 0
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบ

\begin{eqnarray*}
3z+2\sqrt{z}-33 & = & 0\\
\left(3\sqrt{z}+11\right)\left(\sqrt{z}-3\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $\sqrt{z}=-\frac{11}{3}$ (ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ $\sqrt{z}\geq0$) และ $\sqrt{z}=3$

ดังนั้น $z=3^2=9$,

$$y=\sqrt{z}+1=3+1=4$$

และ

$$z=\frac{1+z}{2}=\frac{1+9}{2}=5$$

[STEP]คำนวณผลคูณ $xyz$[/STEP]

$$xyz=(5)(4)(9)=180$$

[ANS]$xyz=180$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น