ให้ $x$ แทนจำนวนสี่หลัก $abc0$ และ $y$ แทนจำนวนสามหลัก $bac$ โดยที่ $a,b,c\in\left\{1,2,3,\cdots,9\right\}$  และ $a,b,c$ แตกต่างกันทั้งหมด

ถ้า $S$ เป็นเซตของ $y$ ทั้งหมด โดยที่ $x-y$ มีค่ามากที่สุด แล้วผลบวกของสมาชิกในเซต $S$ ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณผลต่าง $x-y$ ในเทอม $a,b,c$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x-y & = & abc0-bac\\
& = & \left(1000a+100b+10c\right)-\left(100b+10a+c\right)\\
& = & 990a+9c\\
& = & 9\left(110a+c\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาค่า $a,b,c$ ที่ทำให้ $x-y$ มีค่ามากสุด[/STEP]

ซึ่งจะเห็นว่า

$$x-y=9\left(110a+c\right)$$

จะมีค่ามากที่สุดเมื่อ $a=9$, $c=8$ ส่วน $b$ เป็นอะไรก็ได้ที่แตกต่างจาก $a,c$
นั่นคือ $b\in\left\{1,2,3,\cdots,7\right\}$

[STEP]นับผลรวมของสมาชิกใน $S$[/STEP]

หรือนับจำนวน $y$ ที่ $a=9$, $c=8$ และ

$$b\in\left\{1,2,3,\cdots,7\right\}$$

\begin{eqnarray*}
\sum_{y\in S}y & = & \sum_{b=1}^{7}\left(100b+10a+c\right)\\
& = & \sum_{b=1}^{7}\left(100b+10\left(9\right)+\left(8\right)\right)\\
& = & 100\sum_{b=1}^{7}b+\sum_{b=1}^{7}98\\
& = & 100\times\frac{7\times8}{2}+98\times7 \\
& = & 3486
\end{eqnarray*}

[ANS]ผลรวมสมาชิกใน $S$ เท่ากับ $3486$[/STEP]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคการแก้โจทย์ปัญหาข้อจำกัดจำนวนเต็ม