กำหนดให้ $A=\left\{1,2,3,\cdots,k\right\}$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้

$$B=\left\{(x,y)\in A\times A\mid 0<y-x\leq 8\right\}$$

ค่าของ $k$ ที่ทำให้จำนวนสมาชิกของเซต $B$ เท่ากับ $820$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาว่า $x,y$ ที่เป็นไปได้[/STEP]

$y$ ต้องน้อยกว่า $x$ ไม่เกิน $8$

\begin{eqnarray*}
y=1 & \Rightarrow & x=2,3,4,\cdots,9\\
y=2 & \Rightarrow & x=3,4,5,\cdots,10\\
y=3 & \Rightarrow & x=4,5,6,\cdots,11\\
& \vdots\\
y=k-8 & \Rightarrow & x=k-7,k-6,\cdots,k
\end{eqnarray*}

ซึ่งกลุ่มนี้ $y$ ทุกตัวจะมี $x$ จับคู่ด้วยทั้งหมด $8$ ตัวเสมอ ดังนั้นจึงมีทั้งหมด

$$8\times\left(k-8\right)\text{ ตัว}$$

\begin{eqnarray*}
y=k-7 & \Rightarrow & x=k-6,k-5,\cdots,k\\
y=k-6 & \Rightarrow & x=k-5,k-4,\cdots k\\
& \vdots\\
y=k-2 & \Rightarrow & x=k-1,k\\
y=k-1 & \Rightarrow & x=k
\end{eqnarray*}

$y$ ในกลุ่มนี้จะมีจำนวน $x$ ค่อยๆ ลดลง จาก $7,6,5,\cdots,1$ ตัว ดังนั้นจึงมีทั้งหมด

$$7+6+5+\cdots+1=28\text{ ตัว}$$

รวมกันทั้งสองกรณีแล้ว จะได้ว่าใน $B$ มีคู่อันดับทั้งหมด

$$8\left(k-8\right)+28$$

[STEP]แก้สมการหาค่า $k$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
8\left(k-8\right)+28 & = & 820\\
8\left(k-8\right) & = & 792\\
k-8 & = & 99\\
k & = & 107
\end{eqnarray*}

[ANS]$k=107$[/ANS]