ให้ $L$ เป็นเส้นตรงผ่านจุด $(0,2)$ ตั้งฉากกับ $x+3y=36$ พื้นที่ของบริเวณในควอดรันต์ (quadrant) ที่ $1$ ซึ่งล้อมรอบด้วย แกน $x$ แกน $y$ เส้นตรง $L$ และเส้นตรง $x+3y=36$ เท่ากับกี่ตารางหน่วย

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดรูปประกอบ และหาสมการ $L$[/STEP]

แทน $x=0$ จะได้ $y=12$ และแทน $y=0$ จะได้ $x=36$ วาดรูปประกอบได้

ความชันของ $x+3y=36$ เท่ากับ $m=-\frac13$ ดังนั้นความชันของ $L$ ต้องเท่ากับ $m_L=3$ เพื่อให้คูณกับ $m=-\frac13$ แล้วมีค่าเท่ากับ $-1$ (เพราะเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน)

คำนวณสมการเส้นตรง $L$ (สีฟ้าในรูป)

\begin{eqnarray*}
\left(y-2\right) & = & 3\left(x\right)\\
y & = & 3x+2
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจุดตัดของ $L$ กับ $x+3y=36$[/STEP]

แก้ระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
x+3y & = & 36\\
-3x+y & = & 2
\end{eqnarray*}

ได้จุดตัดมีค่า $x=3$

[STEP]แบ่งช่วงอินทิเกรตหาพื้นที่[/STEP]

จะเห็นว่าต้องแบ่งช่วงอินทิเกรตดังนี้

$$\begin{array}{l}
\int_{0}^{3}\left(3x+2\right)dx+\int_{3}^{36}\left(12-\frac{x}{3}\right)dx\\
\qquad = \left.\left(\frac{3}{2}x^{2}+2x\right)\right|_{0}^{3}+\left.\left(12x-\frac{1}{6}x^{2}\right)\right|_{3}^{36}\\
\qquad = \left(\frac{27}{2}+6\right)-\left(0\right)+\left(432-216\right)-\left(36-\frac{3}{2}\right)\\
\qquad = 201
\end{array}$$

[ANS]พื้นที่ดังกล่าวเท่ากับ $201$ ตารางหน่วย[/ANS]

ในขั้นตอนสุดท้าย เราไม่จำเป็นต้องใช้อินทิเกรตในการคำนวณพื้นที่  แต่เราสามารถหาพื้นที่โดยแบ่งเป็นสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมูง่ายๆ ก็ได้

ความรู้ที่ใช้ : การสร้างสมการเส้นตรง อินทิเกรตหาพื้นที่ใต้กราฟและพื้นที่ระหว่างกราฟ