กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพุหนามโดยที่ $P(0)=2$ และสอดคล้องกับสมการ

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{5xh+14h}{P\left(x+h+3\right)+P\left(1+h\right)-P\left(x+3\right)-P\left(1\right)}=1$$

แล้ว ค่าของ $P(4)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปลิมิตให้อยู่ในรูปอนุพันธ์[/STEP]

จาก

$$P'(x+3)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{P(x+3+h)-P(x+3)}{h}$$

และ

$$P'(1)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{P(1+h)-P(1)}{h}$$

จะได้ว่า

\begin{array}{l}
\lim_{h\rightarrow0}\frac{5xh+14h}{P(x+h+3)+P(1+h)-P(x+3)-P(1)}\\
\qquad = \lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(5x+14\right)h}{\left[P\left(x+h+3\right)-P\left(x+3\right)\right]+\left[P\left(1+h\right)-P\left(1\right)\right]}\\
\qquad = \lim_{h\rightarrow0}\frac{5x+14}{\frac{P\left(x+h+3\right)-P\left(x+3\right)}{h}+\frac{P\left(1+h\right)-P\left(1\right)}{h}}\\
\qquad = \frac{5x+14}{P'\left(x+3\right)+P'\left(1\right)}
\end{array}

ซึ่งโจทย์บอกว่ามีค่าเท่ากับ $1$ จากนั้นจัดรูปได้

$$P'\left(x+3\right)=5x+14-P'\left(1\right)\quad\cdots(1)$$

[STEP]คำนวณหา $P'(1)$, $P'(x)$ และ $P(x)$ ตามลำดับ[/STEP]

แทนค่า $x=-2$ จะได้ 

\begin{eqnarray*}
P'\left(1\right) & = & 5\left(-2\right)+14-P'\left(1\right)\\
2P'\left(1\right) & = & 4\\
P'\left(1\right) & = & 2
\end{eqnarray*}

แทนค่า $P'(1)=2$ ใน $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
P'\left(x+3\right) & = & 5x+14-P'\left(1\right)\\
& = & 5x+14-\left(2\right)\\
& = & 5x+12
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x$ ด้วย $x-3$ จะได้ $P'(x)$ แล้วอินทิเกรตหา $P(x)$

\begin{eqnarray*}
P'\left(\left(x-3\right)+3\right) & = & 5\left(x-3\right)+12\\
P'\left(x\right) & = & 5x-3\\
P\left(x\right) & = & \int\left(5x-3\right)dx\\
& = & \frac{5}{2}x^{2}-3x+k
\end{eqnarray*}

จาก $P(0)=2$ จะได้

$$P(x)=\frac52x^2-3x+2$$

[STEP]แทนค่า $x=4$ หา $P(4)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
P\left(4\right) & = & \frac{5}{2}\left(4\right)^{2}-3\left(4\right)+2\\
& = & 40-12+2\\
& = & 30
\end{eqnarray*}

[ANS]$P(4)=30$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชัน อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์