กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ $P\left(x^2+2\right)=3x^4+24x^2+37$  และให้ $\displaystyle f(x)=\int_0^xP(t)dt$

ค่าของ

$$\lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{P(x)-f(x)}$$

เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $P(x)$[/STEP]

แทนค่า $x^2$ ด้วย $x^2-2$

\begin{eqnarray*}
P\left(\left(x^{2}-2\right)+2\right) & = & 3\left(x^{2}-2\right)^{2}+24\left(x^{2}-2\right)+37\\
P\left(x^{2}\right) & = & 3\left(x^{4}-4x^{2}+4\right)+24x^{2}-48+37\\
P\left(x^{2}\right) & = & 3x^{4}+12x^{2}+1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$P(x)=3x^2+12x+1$$

[STEP]อินทิเกรตคำนวณ $f(x)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \int_{0}^{x}\left(3t^{2}+12t+1\right)dt\\
& = & \left.t^{3}+6t^{2}+t\right|_{0}^{x}\\
& = & x^{3}+6x^{2}+x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$f(x)=x^3+6x^2+x$$

[STEP]คำนวณลิมิต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{\left(3x^{2}+12x+1\right)-\left(x^{3}+6x^{2}+x\right)} & = & \lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{-x^{3}-3x^{2}+11x+1}\\
& = & \sqrt[3]{-1-3+11+1}\\
& = & 2
\end{eqnarray*}

[ANS]ลิมิตมีค่าเท่ากับ $2$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันประกอบ การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต