กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f:R\rightarrow R$ และ $g:R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ โดยที่

  1. $\left(fg\right)(x)=3x-4$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$
  2. ฟังก์ชัน $g$ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ $1$ ที่ $x=2$
  3. $f''(x)=-2$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

ฟังก์ชัน $f$ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $f(2)$ และ $f'(2)$[/STEP]

จากข้อมูลที่โจทย์ให้มา เราทราบว่า $g(2)=1$ และ $g'(2)=0$

แทนค่า $x=2$ และ $g(2)=1$ ใน $\left(fg\right)(x)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f\left(2\right)g\left(2\right) & = & 3\left(2\right)-4\\
f\left(2\right)\left(1\right) & = & 2\\
f\left(2\right) & = & 2
\end{eqnarray*}

หาอนุพันธ์ของสมการ $\left(fg\right)(x)=3x-4$

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\left(fg\right)\left(x\right) & = & \frac{d}{dx}\left(3x-4\right)\\
f\left(x\right)g'\left(x\right)+g\left(x\right)f'\left(x\right) & = & 3
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=2$, $g(2)=1$, $g'(2)=0$ และ $f(2)=2$

\begin{eqnarray*}
f\left(2\right)g'\left(2\right)+g\left(2\right)f'\left(2\right) & = & 3\\
\left(2\right)\left(0\right)+\left(1\right)f'\left(2\right) & = & 3\\
f'\left(2\right) & = & 3
\end{eqnarray*}

จะได้ $f(2)=2$ และ $f'(2)=3$

[STEP]หา $f'(x)$[/STEP]

จาก $f''(x)=-2$ อินทิเกรตจะได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(x\right) & = & \int-2dx\\
& = & -2x+k
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=2$ และ $f'(2)=3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(2\right) & = & -2\left(2\right)+k\\
3 & = & -4+k\\
k & = & 7
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$f'(x)=-2x+7$$

[STEP]หา $f(x)$[/STEP]

อินทิเกรต $f'(x)$

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \int\left(-2x+7\right)dx\\
& = & -x^{2}+7x+c
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=2$ และ $f(2)=2$

\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & -\left(2\right)^{2}+7\left(2\right)+c\\
2 & = & -4+14+c\\
c & = & -8
\end{eqnarray*}

จะได้

$$f(x)=-x^2+7x-8$$

[STEP]หาค่าวิกฤติและค่าสูงสุดของ $f(x)$[/STEP]

แก้สมการ $f'(x)=0$

\begin{eqnarray*}
-2x+7 & = & 0\\
x & = & \frac{7}{2}
\end{eqnarray*}

จะได้ $x=\frac72$ เป็นค่าวิกฤติเดียวของ $f(x)$ และเนื่องจาก $f''(x)=-2$ ทุกๆ $x$ ดังนั้น $x=\frac72$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

คำนวณ $f\left(\frac72\right)$

\begin{eqnarray*}
f\left(\frac{7}{2}\right) & = & -\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+7\left(\frac{7}{2}\right)-8\\
& = & \frac{17}{4}\\
& = & 4.25
\end{eqnarray*}

[ANS]ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f(x)$ เท่ากับ $4.25$[/ANS]


ความรู้ที่ใช้ : ค่าสูงสุดต่ำสุด ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร