ถ้าลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก $9$ พจน์แรกเท่ากับ $351$ และผลบวกอีก $9$ พจน์ถัดไปเท่ากับ $918$ แล้ว ผลบวก $25$ พจน์แรกของลำดับเลขคณิตนี้เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาผลต่างร่วมและเทอมแรกของลำดับนี้[/STEP]

ให้เทอมแรกของลำดับนี้ คือ $a_1$
$d$ แทนผลต่างร่วม
$S_n$ แทนผลบวก $n$ พจน์แรก 

จากผลบวก $9$ พจน์แรก

\begin{eqnarray*}
S_{9} & = & \sum_{n=1}^{9}\left(a_{1}+\left(n-1\right)d\right)\\
351 & = & \sum_{n=1}^{9}\left(a_{1}-d\right)+d\sum_{n=1}^{9}n\\
351 & = & 9\left(a_{1}-d\right)+\left(d\right)\frac{9\times10}{2}\\
351 & = & 9a_{1}+36d
\end{eqnarray*}

และจากผลบวก $9$ พจน์ถัดไป

\begin{eqnarray*}
S_{18}-S_{9} & = & \sum_{n=1}^{18}\left(a_{1}+\left(n-1\right)d\right)-S_{9}\\
918 & = & \sum_{n=1}^{18}\left(a_{1}-d\right)+\left(d\sum_{n=1}^{18}n\right)-\left(9a_{1}+36d\right)\\
918 & = & 18\left(a_{1}-d\right)+\left(d\right)\frac{18\times19}{2}-\left(9a_{1}+36d\right)\\
918 & = & 9a_{1}+117d
\end{eqnarray*}

นำสมการทั้งสองลบกัน

\begin{eqnarray*}
567 & = & 81d\\
d & = & 7
\end{eqnarray*}

แทนค่า $d=7$ จะได้ $a_1=11$

[STEP]หาผลบวก $S_{25}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
S_{25} & = & \sum_{n=1}^{25}\left(a_{1}-d\right)+d\sum_{n=1}^{25}n\\
& = & \sum_{n=1}^{25}4+7\sum_{n=1}^{25}n\\
& = & 4\times25+7\times\frac{25\times26}{2}\\
& = & 2375
\end{eqnarray*}

[ANS]$S_{25}=2375$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเลขคณิต