กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ

$$\sqrt{3}\left|z-1\right|=\left|z-3\right|$$

ค่าของ $\left|\bar{z}\left(\sqrt{2}-i\right)\right|$ เท่ากับเท่าใด  เมื่อ $\bar{z}$ แทนสังยุค (conjugate) ของ $z$

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $\left|z\right|^2$[/STEP]

ให้ $z=a+bi$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sqrt{3}^{2}\left|z-1\right|^{2} & = & \left|z-3\right|^{2}\\
3\left|a-1+bi\right|^{2} & = & \left|a-3+bi\right|^{2}\\
3\left(\left(a-1\right)^{2}+b^{2}\right) & = & \left(a-3\right)^{2}+b^{2}\\
a^{2}+b^{2} & = & 3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\left|z\right|^2 =3$

[STEP]คำนวณ $\left|\bar{z}\left(\sqrt{2}-i\right)\right|$[/STEP]

ใช้สมบัติ $\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$ แล้วแทนค่า $\left|\bar{z}\right|=\sqrt{\left|z\right|^2}=\sqrt{3}$ ได้

\begin{eqnarray*}
\left|\bar{z}\left(\sqrt{2}-i\right)\right| & = & \left|\bar{z}\right|\left|\sqrt{2}-i\right|\\
& = & \sqrt{3}\sqrt{\sqrt{2}^{2}+\left(1\right)^{2}}\\
& = & \sqrt{3}\sqrt{3}\\
& = & 3
\end{eqnarray*}

[ANS]$\left|\bar{z}\left(\sqrt{2}-i\right)\right|=3$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การบวกลบและการคูณจำนวนเชิงซ้อน สังยุคและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน