สำหรับ $n=1,2,3,\cdots$ กำหนดให้

$$a_n=4+8+12+\cdots+4n$$

และ

$$b_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$$

ค่าของ

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{3}{b_1}+\frac{4}{b_2}+\frac{5}{b_3}+\cdots+\frac{n+2}{b_n}\right]$$

เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หารูปทั่วไปของ $a_n$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & 4\left(1+2+3+\cdots+n\right)\\
& = & 4\sum_{k=1}^{n}k\\
& = & 4\cdot\frac{n}{2}\left(n+1\right)\\
& = & 2n^{2}+2n
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $a_n=2n^2+2n$

[STEP]ใช้ $\sum$ หารูปทั่วไปของ $b_n$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
b_{n} & = & \sum_{k=1}^{n}a_{k}\\
& = & \sum_{k=1}^{n}\left(2k^{2}+2k\right)\\
& = & 2\sum_{k=1}^{n}k^{2}+2\sum_{k=1}^{n}k
\end{eqnarray*}

ใช้สูตร $\sum$ และจัดรูป

\begin{eqnarray*}
& = & 2\cdot\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+2\cdot\frac{n}{2}\left(n+1\right)\\
& = & n\left(n+1\right)\left[\frac{2n+1}{3}+\frac{3}{3}\right]\\
& = & \frac{2}{3}\cdot n\left(n+1\right)\left(n+2\right)
\end{eqnarray*}

จะได้ $b_n=\frac{2}{3}\cdot n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$

[STEP]หารูปทั่วไปแต่ละเทอมใน $\lim$[/STEP]

แต่ละเทอมในลิมิต คือ

\begin{eqnarray*}
\frac{n+2}{b_n} & = & \frac{\left(n+2\right)}{\frac{2}{3}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\
& = & \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n\left(n+1\right)}\\
& = & \frac{3}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]หาผลรวมอนันต์ของอนุกรมเทเลสโคป[/STEP]

หาผลบวกย่อย 

\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & \frac{3}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]\\
& = & \frac{3}{2}\left[1-\frac{1}{n+1}\right]
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{3}{b_{1}}+\frac{4}{b_{2}}+\frac{5}{b_{3}}+\cdots+\frac{n+2}{b_{n}}\right] & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{2}\left[1-\frac{1}{n+1}\right]\\
& = & \frac{3}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\frac{1}{n+1}\right]\\
& = & \frac{3}{2}\left[1-0\right]
\end{eqnarray*}

[ANS]ลิมิตมีค่า $\frac32=1.5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเลขคณิต อนุกรมเทเลสโคป ผลบวกอนันต์ของอนุกรม