กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ $3\times3$ โดยที่ $\det B\neq 0$  ถ้า 

$$A=\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -3\\
-4 & 2 & 1\\
3 & -1 & 0
\end{array}\right]$$

และ $\det\left(B^{-1}CB^t\right)=-10$ แล้ว $\det\left(CA^tC^t\right)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\det A$[/STEP]

จะได้ $\det A=5$

[STEP]หา $\det C$[/STEP]

จากสมการ $\det\left(B^{-1}CB^t\right)=-10$ ใช้สมบัติ $\det$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\det\left(B^{-1}CB^{t}\right) & = & -10\\
\det B^{-1}\det C\det B^{t} & = & -10\\
\frac{1}{\det B}\det C\det B & = & -10\\
\det C & = & -10
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\det C=-10$

[STEP]หา $\det C$[/STEP]

คำนวณ $\det\left(CA^{t}C^{t}\right)$

\begin{eqnarray*}
\det\left(CA^{t}C^{t}\right) & = & \det C\det A^{t}\det C^{t}\\
& = & \det C\det A\det C\\
& = & \left(\det C\right)^{2}\det A\\
& = & \left(-10\right)^{2}\left(5\right)\\
& = & 500
\end{eqnarray*}

[ANS]$\det\left(CA^{t}C^{t}\right)=500$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์