วงกลมวงหนึ่งมี $C(h,k)$ เป็นจุดศูนย์กลาง อยู่บนเส้นตรง $L$ ซึ่งมีสมการเป็น $y+3x=4$ และวงกลมนี้ผ่านจุด $A(-3,-4)$ และจุด $B(4,-3)$ แล้ว  พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณรัศมี $CA$ และ $CB$ หาความสัมพันธ์ระหว่าง $h,k$[/STEP]

คำนวณระยะทางระหว่างจุด $C(h,k)$ กับจุด $A(-3,-4)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
d_1 &=&  \sqrt{(h-(-3))^2+(k-(-4))^2}\\
&=& \sqrt{(h+3)^2+(k+4)^2}
\end{eqnarray*}

และคำนวณระยะทางระหว่างจุด $C(h,k)$ กับจุด $B(4,-3)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
d_2 &=&  \sqrt{(h-4)^2+(k-(-3))^2}\\
&=& \sqrt{(h-4)^2+(k+3)^2}
\end{eqnarray*}

นำระยะทางทั้งสองมาเท่ากันเพราะเป็นความยาวของรัศมีของวงกลมเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
d_1 &=& d_2\\
\sqrt{(h+3)^2+(k+4)^2} &=& \sqrt{(h-4)^2+(k+3)^2}
\end{eqnarray*}

จากนั้นยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(h+3\right)^{2}+\left(k+4\right)^{2} & = & \left(h-4\right)^{2}+\left(k+3\right)^{2}\\
h^{2}+6h+9+k^{2}+8k+16 & = & h^{2}-8h+16+k^{2}+6k+9\\
14h+2k & = & 0\\
k & = & -7h
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่าความสัมพันธ์ระหว่าง $h,k$ ลงใน $L$[/STEP]

เนื่องจาก $C(h,k)$ อยู่บนเส้นตรง $y+3x=4$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
k+3h & = & 4\\
-7h+3h & = & 4\\
-4h & = & 4\\
h & = & -1
\end{eqnarray*}

แทนค่า $h=-1$ จะได้ $k=7$ และ $C(-1,7)$

[STEP]หาพื้นที่ $ABC$ จาก $\det$ ที่ใช้พิกัดของ $A$, $B$ และ $C$[/STEP]

หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยใช้พิกัด ของ $A$ , $B$ และ $C$

นำพิกัดของ $A$ , $B$ และ $C$ เรียงในแนวตั้ง และปิดด้วยพิกัด $A$ 

จากนั้นคูณเฉียงขึ้น จะได้

จากนั้น หาผลต่างของตัวเลขสีฟ้า กับ ตัวเลขสีชมพู แล้วนำมาหาร $2$ จะได้ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ต้องการ

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่รูปสามเหลี่ยม }&=&\frac{\left|(9+28+4)-(-16+3-21)\right|}{2}\\
&=&\frac{\left|(41)-(-34)\right|}{2}\\
&=&37.5
\end{eqnarray*}

 

[ANS]พื้นที่ $\triangle ABC=37.5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : วงกลม ระยะทางของจุดกับเส้นตรง พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมจากพิกัดฉาก