กำหนดให้ $A$ แทนเซตคำตอบของสมการ

$$x^2\log_9\left(x^2+4x-3\right)+x\log_{\frac13}\left(x^2+4x-3\right)=2x-x^2$$

และให้

$$B=\left\{3x \mid x\in A\right\}$$

ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกทั้งหมดของ $B$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปรวม $\log$ เข้าด้วยกันให้อยู่ในรูปอย่างง่าย[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x^{2}\log_{9}\left(x^{2}+4x-3\right)+x\log_{\frac{1}{3}}\left(x^{2}+4x-3\right) & = & 2x-x^{2}\\
x^{2}\log_{3^{2}}\left(x^{2}+4x-3\right)+x\log_{3^{-1}}\left(x^{2}+4x-3\right)+x^{2}-2x & = & 0\\
\frac{x^{2}}{2}\log_{3}\left(x^{2}+4x-3\right)+\frac{x}{-1}\log_{3}\left(x^{2}+4x-3\right)+\left(x^{2}-2x\right) & = & 0\\
\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)\log_{3}\left(x^{2}+4x-3\right)+\left(x^{2}-2x\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

[STEP]ดึงตัวร่วม $x^2-2x$ ออกแล้วแบ่งเป็นกรณี[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\left(x^{2}-2x\right)\log_{3}\left(x^{2}+4x-3\right)+\left(x^{2}-2x\right) & = & 0\\
\left(x^{2}-2x\right)\left(\frac{1}{2}\log_{3}\left(x^{2}+4x-3\right)+1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

[STEP]กรณี $x^2-2x=0$[/STEP]

แยกตัวประกอบได้

$$x(x-2)=0$$

ซึ่งได้ $x=0$ หรือ $x=2$ แต่เมื่อแทนค่า $x=0$ แล้วทำให้หลัง $\log$ ติดลบ ดังนั้นต้องตัด $x=0$ ออก ส่วน $x=2$ ตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นคำตอบของ $A$

[STEP]กรณี $\frac12\log_3\left(x^2+4x-3\right)+1=0$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\log_{3}\left(x^{2}+4x-3\right) & = & -1\\
\left(x^{2}+4x-3\right)^{\frac{1}{2}} & = & 3^{-1}\\
x^{2}+4x-3 & = & \frac{1}{9}\\
x^{2}+4x-\frac{28}{9} & = & 0
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบได้

\begin{eqnarray*}
x^{2}+4x+4 & = & \frac{28}{9}+4\\
\left(x+2\right)^{2} & = & \frac{64}{9}\\
x+2 & = & \pm\frac{8}{3}\\
x & = & -\frac{14}{3},\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบคำตอบแล้วเป็นคำตอบทั้งคู่ ดังนั้น

$$A=\left\{2,-\frac{14}{3},\frac23\right\}$$

[STEP]คำนวณ $B$ และผลบวกสมาชิก[/STEP]

$$B=\left\{6,-14,2\right\}$$

ดังนั้นผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกใน $B$ เท่ากับ $6+14+2=22$

[ANS]ผลบวกของสมาชิกใน $B$ เท่ากับ 22[/ANS]