พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า $p,q$ และ $r$ เป็นประพจน์ที่ $\left(q\Rightarrow r\right)\Rightarrow p$ มีค่าความจริงเป็นจริงแล้ว $\sim r\Rightarrow\left[\left(p\Rightarrow\sim r\right)\wedge\left(\sim q\Rightarrow p\right)\right]$ มีค่าความจริงเป็นจริงด้วยเช่นกัน

ข. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ $\left\{ x\in R\left|x^{2}\leq x+6\right.\right\} $ เมื่อ $R$ คือ เซตของจำนวนจริง
แล้ว $\exists x\left[5^{x}=2\left(5^{-x+2}\right)+23\right]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ข้อใดถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]ข้อแรกมองเป็นการอ้างเหตุผล[/STEP]

$$\left[\left(q\Rightarrow r\right)\Rightarrow p\right]\Rightarrow\left\{ \sim r\Rightarrow\left[\left(p\Rightarrow\sim r\right)\wedge\left(\sim q\Rightarrow p\right)\right]\right\}

$$แล้วพิสูจน์ว่าการอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ โดยตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยวิธีสมมุติให้เป็นเท็จแล้วหาข้อขัดแย้ง

แทนค่า $r\equiv F$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
q\Rightarrow r &\equiv & \sim q \vee F\\
&\equiv & \sim q\\
p\Rightarrow \sim r &\equiv & \sim p \vee T\\
&\equiv & T
\end{eqnarray*}

ประพจน์ด้านบนจึงลดรูปเหลือเพียง$$

\left[\left(\sim q\right)\Rightarrow p\right]\Rightarrow\left\{ \sim F\Rightarrow\left[\left(T\right)\wedge\left(\sim q\Rightarrow p\right)\right]\right\} \equiv \left[\sim q\Rightarrow p\right]\Rightarrow\left\{ \sim F\Rightarrow\left[\sim q\Rightarrow p\right]\right\}

$$

ซึ่งขัดแย้งเพราะว่า $\sim q\Rightarrow p \equiv T$ และ $F$ ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นคำกล่าวในข้อนี้จึงถูกต้อง

[STEP]แก้อสการหาเอกภพสัมพัทธ์ในข้อสอง[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x^{2} & \leq & x+6\\
x^{2}-x-6 & \leq & 0\\
\left(x-3\right)\left(x+2\right) & \leq & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้เอกภพสัมพัทธ์ $\mathscr{U}=[-2,3]$

[STEP]แก้สมการ $5^{x}=2\left(5^{-x+2}\right)+23$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
5^{x} & = & 2\left(5^{-x+2}\right)+23\\
5^{x}-2\left(25\times5^{-x}\right)-23 & = & 0\\
5^{x}-50\times5^{-x}-23 & = & 0
\end{eqnarray*}

คูณตลอดด้วย $5^x$ ซึ่งมีค่าไม่เป็นศูนย์อยู่แล้ว

\begin{eqnarray*}
5^{2x}-23\times5^{x}-50 & = & 0\\
\left(5^{x}+2\right)\left(5^{x}-25\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $5^x=25$ เพราะว่า $5^x>0$ ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
5^{x} & = & 25\\
5^{x} & = & 5^{2}\\
x & = & 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้นประพจน์นี้จะลดรูปเหลือ$$

\exists x\left[5^{x}=2\left(5^{-x+2}\right)+23\right] \equiv \exists x\in\mathscr{U}\left[x=2\right]

$$ซึ่งเห็นได้ชัดว่า $2\in \mathscr{U}=[-2,3]$ ข้อนี้จึงกล่าวได้ถูกต้องเช่นเดียวกัน 

 

[ANS] A ก.ถูก และ ข.ถูก[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ สัจนิรันดร์และการตรวจสอบสัจนิรันดร์