ให้ $\theta$ เป็นจำนวนจริงใดๆ  ถ้า $a$ และ $b$ เป็นค่าสูงสุดของ $\sin^4\theta -\cos^4\theta$ และ $5\sin \theta +12\cos\theta$ ตามลำดับ  แล้ว $a+b$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $\sin^4\theta-\cos^4\theta$ เพื่อหาค่าสูงสุด[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sin^{4}\theta-\cos^{4}\theta & = & \left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)\left(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta\right)\\
& = & \left(1\right)\left(-\left(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\right)\right)\\
& = & -\left(\cos2\theta\right)
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่าเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีค่าอยู่ระหว่าง $-1\leq\cos2\theta\leq1$ ดังนั้น

ค่าสูงสุด คือ $a=1$

[STEP]ใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์หาค่าสูงสุดของ $f(\theta)=5\sin\theta+12\cos\theta$[/STEP]

หา $f'(\theta)$ 

$$f'\left(\theta\right)=5\cos\theta-12\sin\theta$$

แก้สมการ $f'(\theta)=0$ หาค่าวิกฤติ

\begin{eqnarray*}
5\cos\theta-12\sin\theta & = & 0\\
5\cos\theta & = & 12\sin\theta\\
\tan\theta & = & \frac{5}{12}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $\theta=\arctan\frac{5}{12}+n\pi$ เมื่อ $n\in I$

ดังนั้นค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ $\theta=\arctan\frac{5}{12}+n\pi$

หา $f''(\theta)$

\begin{eqnarray*}
f''\left(\theta\right) & = & -5\sin\theta-12\cos\theta\\
& = & -\left(5\sin\theta+12\cos\theta\right)\\
& = & -f\left(\theta\right)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $f(\theta)$ จะมีค่าสูงสุดเมื่อ $f(\theta)>0$

ทดลองแทนค่า $\theta=\arctan\frac{5}{12}$ ใน $f(\theta)$

\begin{eqnarray*}
f\left(\arctan\frac{5}{12}\right) & = & 5\sin\arctan\frac{5}{12}+12\cos\arctan\frac{5}{12}\\
& = & 5\left(\frac{5}{13}\right)+12\left(\frac{12}{13}\right)\\
& = & 13
\end{eqnarray*}

พบว่ามีค่ามากกว่า $0$ ดังนั้น ค่าสูงสุด $b=13$

[ANS]$a+b=1+13=14$[/ANS]

 

โจทย์ถามค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ

$$\pm a\sin\theta \pm b \cos\theta$$

ตอบ $\sqrt{a^2+b^2}$ และ $-\sqrt{a^2+b^2}$ ตามลำดับเสมอ

โจทย์ถามค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $\sin^{2n}\theta\pm \cos^{2n}\theta$  ให้เริ่มจัดรูปสิ่งที่โจทย์ถามโดยแยกตัวประกอบ ถ้าทำได้ แล้วจากนั้นพยายามหาค่าที่ต้องการโดยใช้สมการตั้งต้นเป็น

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

แล้วยกกำลังทั้งสองข้างเพื่อให้ได้เทอมที่เราต้องการ

ความรู้ที่ใช้ : ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันไซน์โคไซน์