ค่าของ

$$\operatorname{cosec}^2\left(2\arctan\frac12+\arctan\left(-\frac12\right)\right)$$

เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สูตรตรีโกณมิติเปลี่ยน $\operatorname{cosec}$ ให้อยู่ในรูป $\cot$[/STEP]

ให้ $A=\arctan\frac12$ และ $B=\arctan\left(-\frac12\right)$

จาก $1+\cot^2x=\operatorname{cosec}^2x$ จะได้ว่า โจทย์ถาม

\begin{eqnarray*}
\operatorname{cosec}^{2}\left(2A+B\right) & = & 1+\cot^{2}\left(2A+B\right)\\
 & = & 1+\frac{1}{\tan^{2}\left(2A+B\right)}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $2A=2\arctan\frac12$ ในรูป $\arctan$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\tan2A & = & \frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}\\
& = & \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\\
& = & \frac{4}{3}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$2A=2\arctan\frac12=\arctan\frac43$$

[STEP]หา $\tan(2A+B)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\tan\left(2A+B\right) & = & \frac{\tan2A+\tan B}{1-\tan2A\tan B}\\
& = & \frac{\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)}{1-\left(\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}\\
& = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $\tan(2A+B)$ ลงในขั้นตอนแรกเพื่อหาคำตอบ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\operatorname{cosec}^{2}\left(2A+B\right) & = & 1+\frac{1}{\tan^{2}\left(2A+B\right)}\\
& = & 1+\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\\
& = & 1+4\\
& = & 5
\end{eqnarray*}

[ANS]$5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ