ให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ

$$\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x+8+6\sqrt{2x-1}}=10$$

และให้ $B$ เป็นเซตคำตอบของสมการ

$$2x^2-6x-10-\sqrt{4x^2-12x+60}=0$$

ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A\cup B$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สูตรถอดรากที่สองซ้อนแก้หา $A$[/STEP]

จัดรูปด้านซ้ายของสมการใน $A$ ให้ตรงกับสูตร

$$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{a\cdot b}}=\left|\sqrt{a}+\sqrt{b}\right|$$

ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x+8+6\sqrt{2x-1}} & = & 10\\
\sqrt{\left(2x-1\right)+1+2\sqrt{\left(2x-1\right)\left(1\right)}}+\sqrt{\left(2x-1\right)+\left(9\right)+2\sqrt{\left(2x-1\right)\left(9\right)}} & = & 10\\
\left|\sqrt{2x-1}+\sqrt{1}\right|+\left|\sqrt{2x-1}+\sqrt{9}\right| & = & 10\\
2\sqrt{2x-1}+4 & = & 10
\end{eqnarray*}

แก้สมการ โดยยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2x-1} & = & 3\\
2x-1 & = & 9\\
x & = & 5
\end{eqnarray*}

ทดลองแทนค่า $x=5$ พบว่าเป็นจริง ดังนั้น 

$$A=\left\{5\right\}$$

[STEP]จัดรูป แทนตัวแปร และแก้สมการหา $B$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
2x^{2}-6x-10-\sqrt{4x^{2}-12x+60} & = & 0\\
2\left(x^{2}-3x+15\right)-40-2\sqrt{x^{2}-3x+15} & = & 0
\end{eqnarray*}

ให้ $a=\sqrt{x^2-3x+15}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2a^{2}-40-2a & = & 0\\
a^{2}-a-20 & = & 0\\
\left(a-5\right)\left(a+4\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $\sqrt{x^2-3x+15}=5$ อย่างเดียว เพราะ $a=-4$ เป็นไปไม่ได้

\begin{eqnarray*}
\left(\sqrt{x^{2}-3x+15}\right)^{2} & = & 5^{2}\\
x^{2}-3x+15 & = & 25\\
x^{2}-3x-10 & = & 0\\
\left(x-5\right)\left(x+2\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อลองแทนค่า $x=5,-2$ ลงในสมการเริ่มต้นของ $B$ แล้วพบว่าเป็นคำตอบทั้งคู่ ดังนั้น 

$$B=\left\{-2,5\right\}$$

[STEP]คำนวณ $A\cup B$ และผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิก[/STEP]

จะได้

$$A\cup B=\left\{-2,5\right\}$$

[ANS]ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิก $n(A\cup B)$ เท่ากับ $7$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2