กำหนดให้ $\mathscr{U}$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์และให้ $A$ และ $B$ เป็นสับเซตของ $\mathscr{U}$

ถ้า $25\%$ ของสมาชิกในเซต $A$ เป็นสมาชิกในเซต $B$
$12.5\%$ ของสมาชิกในเซต $B$ เป็นสมาชิกในเซต $A$ และจำนวนสมาชิกของเซต

$$\left(A-B\right)\cup \left(B-A\right)$$

เท่ากับ $120$ แล้ว จำนวนสมาชิกของเซต $A\cup B$ เท่ากับเท่าใด 

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดเวนน์-ออยเลอร์ประกอบ[/STEP]

สมมุติให้ $n(A)=a$, $n(B)=b$ และ $n(A\cap B)=x$ 

[STEP]เขียนสมการความสัมพันธ์หา $n(A\cap B)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
25\%(a) &=& x\\
12.5\%(b) &=& x\\
\end{eqnarray*}

หา $a,b$ ในเทอม $x$ ได้

\begin{eqnarray*}
\frac{25}{100}a & = & x\\
 a & = & 4x
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
\frac{12.5}{100}b & = & x\\
b &=& 8x
\end{eqnarray*}

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์จะได้ว่า จำนวนสมาชิกของ $(A-B)\cup (B-A)$ เท่ากับ $(a-x) + (b-x)$ และจากที่โจทย์บอกว่า $(A-B)\cup (B-A)$ มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $120$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
 (a-x)+(b-x) &=& 120\\
(4x-x)+(8x-x) &=&120\\
10x &=&120\\
x &=&12\\
\end{eqnarray*}

ดังนั้น เมื่อแทนค่า $(a-x)+(b-x) = 120$ และแทนค่า $x=12$ จะได้

\begin{eqnarray*}
n(A\cup B) &=& (a-x)+(b-x) +x\\
&=& \left[ (a-x) + (b-x) \right] + x\\
&=& [120]+x\\
&=& 120 +12\\
&=& 132
\end{eqnarray*}

[ANS]$132$[/ANS] 

 

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์ปัญหาแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ที่ไม่ใช้สูตรยูเนียน