จากการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าคะแนนสอบของนักเรียนมีการแจกแจงปรกติและกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปรกติ ระหว่าง $0$ ถึง $z$ ดังตารางต่อไปนี้

$z$ 0.5 1.0 1.5 2.0
พื้นที่ 0.192 0.341 0.433 0.477

ข้อใดต่อไปนี้กล่าวได้ถูกต้อง

ก. ถ้านักเรียนคนหนึ่งสอบได้คะแนนมากกว่ามัธยฐานอยู่สองเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แล้วค่ามาตรฐานของนักเรียนคนนี้ เท่ากับ $2$

ข. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนห้องนี้ มีฐานนิยมเท่ากับ $70$ คะแนน และมีนักเรียนห้องนี้ $30.8\%$ สอบได้คะแนนน้อยกว่า 63 คะแนน แล้วสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบนี้เท่ากับ $0.2$

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณค่ามาตรฐานในข้อแรก[/STEP]

เนื่องจากคะแนนมีการแจกแจงปรกติ แสดงว่า

ฐานนิยม = มัธยฐาน = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

นักเรียนคนนี้ได้คะแนนมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตอยู่สองเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนั้น

$$x - \bar{x} = 2s$$

เมื่อย้าย $s$ ไปหารด้านซ้าย จะได้ค่ามาตรฐานของนักเรียนคนนี้พอดี

$$\frac{x-\bar{x}}{s}=2$$

[ANS]ข้อ ก. กล่าวถูกต้อง[/ANS]

[STEP]คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่ามาตรฐานของ $63$[/STEP]

เนื่องจากมีนักเรียน $30.8\%$ ได้คะแนนน้อยกว่า $63$ ดังนั้น $63$ อยู่ที่ค่า $z=-0.5$ พอดี

โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับฐานนิยม $=70$ จะได้

\begin{eqnarray*}
-0.5 & = & \frac{63-70}{s}\\
s & = & 14
\end{eqnarray*}

และมีสัมประสิทธิ์การแปรผันเท่ากับ

\begin{eqnarray*}
\frac{s}{\bar{x}} & = & \frac{14}{70}\\
& = & 0.2
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ ข. กล่าวถูกต้อง[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เปอร์เซ็นไทล์ ค่ามาตรฐาน