ค่าของ

$$\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\left|2+5x-3x^{2}\right|}{\sqrt{x+7}-3}$$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]ทดลองแทนค่าพบว่าต้องคูณด้วยคอนจูเกทและต้องปลดค่าสัมบูรณ์ออก[/STEP]

เนื่องจาก $x\rightarrow 2^{+}$ แล้ว $(3x+1)(2-x)$ มีค่าน้อยกว่าศูนย์

จึงปลดค่าสัมบูรณ์ได้เป็น

$$\left|(3x+1)(2-x)\right|=-(3x+1)(2-x)$$

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\left|2+5x-3x^{2}\right|}{\sqrt{x+7}-3}& = & \lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\left|\left(3x+1\right)\left(2-x\right)\right|}{\sqrt{x+7}-3}\\
& = & \lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{-\left(3x+1\right)\left(2-x\right)}{\sqrt{x+7}-3}\cdot\frac{\sqrt{x+7}+3}{\sqrt{x+7}+3}\\
& = & \lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{\left(3x+1\right)\cancel{\left(x-2\right)}\left(\sqrt{x+7}+3\right)}{\cancel{x+7-9}}
\end{eqnarray*}

[STEP]ตัด $x-2$ ทิ้ง แล้วใช้กฏการแทนค่าได้[/STEP]

\begin{eqnarray*}
& = & \lim_{x\rightarrow2^{+}}\left(3x+1\right)\left(\sqrt{x+7}+3\right)\\
& = & \left(6+1\right)\left(\sqrt{2+7}+3\right)\\
& = & \left(7\right)\left(6\right)\\
& = & 42
\end{eqnarray*}

[ANS]42[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม ลิมิตติดค่าสัมบูรณ์