กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง โดยที่ $f(0)=3$ และ

$$3f(x+1)=3f(x-1)+2x-6$$

ค่าของ $\displaystyle\int_{-1}^2f(x)dx$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]แทนค่า $x$ ในสมการหลักเพื่อให้เกิด $f(0)$[/STEP]

แทนค่า $x=-1$

\begin{eqnarray*}
3f\left(0\right) & = & 3f\left(-2\right)+2\left(-1\right)-6\\
f\left(-2\right) & = & \frac{17}{3}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=1$

\begin{eqnarray*}
3f\left(2\right) & = & 3f\left(0\right)+2\left(1\right)-6\\
f\left(2\right) & = & \frac{5}{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]สมมุติตัวแปรพหุนามและหา $f(x)$[/STEP]

เราทราบว่าเทอมสุดท้ายเป็น $3$ เพราะ $f(0)=3$ ดังนั้นให้ $f(x)=ax^2+bx+3$

แทนค่า $x=-2$

\begin{eqnarray*}
f\left(-2\right) & = & 4a-2b+3\\
\frac{17}{3} & = & 4a-2b+3\\
4a-2b & = & \frac{8}{3}\quad\cdots\left(1\right)
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=2$

\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & 4a+2b+3\\
\frac{5}{3} & = & 4a+2b+3\\
4a+2b & = & -\frac{4}{3}\quad\cdots\left(2\right)
\end{eqnarray*}

แก้ระบบสมการ $(1),(2)$ ได้ $a=\frac16,b=-1$

ดังนั้น

$$f(x)=\frac16x^2-x+3$$

[STEP]คำนวณอินทิกรัล[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{2}f\left(x\right)dx & = & \int_{-1}^{2}\left(\frac{1}{6}x^{2}-x+3\right)dx\\
& = & \left.\frac{x^{3}}{18}-\frac{x^{2}}{2}+3x\right|_{-1}^{2}\\
& = & \left(\frac{8}{18}-\frac{4}{2}+6\right)-\left(-\frac{1}{18}-\frac{1}{2}-3\right)\\
& = & 8
\end{eqnarray*}

[ANS]$\displaystyle\int_{-1}^1f(x)dx=8$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันประกอบ การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต