กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์

เฉลยละเอียด

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก A[/STEP]
ลดรูปให้ประพจน์อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยเปลี่ยนประพจน์ถ้าแล้วเป็นตัวเชื่อม "หรือ" 

\begin{eqnarray*}
\left(q\Rightarrow p\right)\Rightarrow\left(p\Rightarrow q\right)& \equiv & \sim\left(\sim q\vee p\right)\vee\left(\sim p\vee q\right)\\
& \equiv & \left(q\wedge\sim p\right)\vee\left(\sim p\vee q\right)\\
& \equiv & \left[\left(q\wedge\sim p\right)\vee\sim p\right]\vee q\\
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าถ้า $q$ ซึ่งอยู่นอกสุดเป็นจริง ทั้งประพจน์ก็เป็นจริงไปด้วย แต่ถ้าหาก $q$ เป็นเท็จ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left[\left(F\wedge\sim p\right)\vee\sim p\right]\vee F & \equiv & \left[F\vee\sim p\right]\\
& \equiv & \sim p
\end{eqnarray*}

ซึ่งขึ้นอยู่กับ $p$ ประพจน์นี้จึงไม่ใช่สัจนิรันดร์เพราะไม่ได้เป็นจริงทุกกรณี

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก B[/STEP]
ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

\begin{eqnarray*}
\left(\sim p\vee\sim q\right)\Rightarrow\left(q\Rightarrow p\right)& \equiv & \sim\left(\sim p\vee\sim q\right)\vee\left(\sim q\vee p\right)\\
& \equiv & \left(p\wedge q\right)\vee\left(\sim q\vee p\right)\\
& \equiv & \left[\left(p\wedge q\right)\vee\sim q\right]\vee p
\end{eqnarray*}

เช่นเดียวกับตัวเลือกที่แล้ว เลือกพิจารณาเฉพาะกรณีที่ $p$ เป็นเท็จ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left[\left(F\wedge q\right)\vee\sim q\right]\vee F & \equiv & \left[F\vee\sim q\right]\\
& \equiv & \sim q
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าค่าความจริงของประพจน์นี้ขึ้นอยู่กับประพจน์ $q$ จึงไม่ใช่สัจนิรันดร์

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก C[/STEP]
จัดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่าย 

\begin{eqnarray*}
\left[\left(\sim p\wedge\sim q\right)\Rightarrow q\right]\Rightarrow\left(\sim q\Rightarrow p\right)& \equiv & \sim\left[\sim\left(\sim p\wedge\sim q\right)\vee q\right]\vee\left(q\vee p\right)\\
& \equiv & \sim\left[\left(p\vee q\right)\vee q\right]\vee\left(q\vee p\right)\\
& \equiv & \sim\left[p\vee q\right]\vee\left(p\vee q\right)
\end{eqnarray*}

ซึ่งถ้าให้ $r\equiv (p\vee q)$ จะได้ว่าประพจน์นี้อยู่ในรูป $\sim r\vee r$ ซึ่งเป็นจริงเสมอ ข้อนี้จึงเป็นสัจนิรันดร์

[STEP]ตรวจสอบตัวเลือก D[/STEP]  

\begin{eqnarray*}
\left[\left(\sim p\wedge q\right)\Rightarrow p\right]\Rightarrow\left(q\Rightarrow\sim p\right)& \equiv & \sim\left[\sim\left(\sim p\wedge q\right)\vee p\right]\vee\left(\sim q\vee\sim p\right)\\
& \equiv & \sim\left[\left(p\vee\sim q\right)\vee p\right]\vee\left(\sim q\vee\sim p\right)\\
& \equiv & \sim\left[p\vee\sim q\right]\vee\left(\sim q\vee\sim p\right)\\
& \equiv & \left[\sim p\wedge q\right]\vee\left(\sim q\vee\sim p\right)\\
& \equiv & \left(\left[\sim p\wedge q\right]\vee\sim q\right)\vee\sim p
\end{eqnarray*}

สมมุติให้ $\sim p$ เป็นเท็จ จะได้ $p$ เป็นจริง และ$$

\left(\left[F\wedge q\right]\vee\sim q\right)\vee F=\sim q

$$ซึ่งไม่เป็นสัจนิรันดร์

[ANS]ตอบข้อ C[/ANS]

ข้อนี้น้องๆ สามารถใช้วิธีการ "จับผิด" หรือ การสมมุติว่าเป็นเท็จแล้วหาข้อขัดแย้งก็ได้นะครับ

ความรู้ที่ใช้ : สัจนิรันดร์และการตรวจสอบสัจนิรันดร์