กำหนดให้ $f(x)=x^3+14x^2+ax-216$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $x_1,x_2,x_3$ เป็นจำนวนจริงสามจำนวนเรียงกันแบบลำดับเรขาคณิต และเป็นคำตอบของสมการ $f(x)=0$ แล้ว ค่าของ $f'(-1)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]แยกตัวประกอบ $216$ เพื่อดูว่า $x_1,x_2,x_3$ เป็นอะไรได้บ้าง[/STEP]

พบว่า

\begin{eqnarray*}
216 & = & (2)(6)(18)\\
216 & = & (-2)(6)(-18)\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งผลรวมของ $2+6+18=26$ และ $-2+6-18=-14$ ดังนั้น

$$x_1=-2,x_2=6,x_3=-18$$

(หรืออาจจะสลับกัน)

[STEP]เขียนฟังก์ชัน $f(x)$ หาอนุพันธ์ $f'(x)$ และ $f'(-1)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \left(x+2\right)\left(x-6\right)\left(x+18\right)\\
& = & \left(x^{2}-4x-12\right)\left(x+18\right)
\end{eqnarray*}

หาอนุพันธ์โดยใช้กฏผลคูณ

\begin{eqnarray*}
f'\left(x\right) & = & \left(x^{2}-4x-12\right)\left(1\right)+\left(x+18\right)\left(2x-4\right)\\
f'\left(-1\right) & = & \left(1+4-12\right)+\left(-1+18\right)\left(-2-4\right)\\
& = & \left(-7\right)+\left(-102\right)\\
& = & -109
\end{eqnarray*}

[ANS]$f'(-1)=-109$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร