กำหนดให้ $a_n=\sin\left(\frac{\pi}{2}-n\pi\right)+\cos n\pi$ สำหรับ $n=1,2,3,\cdots$  และ $b_n=10\cos\left(2n\pi-\frac{\pi}{3}\right)$ สำหรับ $n=1,2,3,\cdots$  ผลบวกของอนุกรม

$$\frac{a_{1}}{b_{1}}+\left(\frac{a_{2}}{b_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a_{3}}{b_{3}}\right)^{3}+\cdots+\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)^{n}+\cdots$$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $a_n$ และ $b_n$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a_{1} & = & \sin\left(\frac{\pi}{2}-\pi\right)+\cos\pi=\left(-1\right)+\left(-1\right)=-2\\
a_{2} & = & \sin\left(\frac{\pi}{2}-2\pi\right)+\cos2\pi=\left(1\right)+\left(1\right)=2\\
a_{3} & = & \sin\left(\frac{\pi}{2}-3\pi\right)+\cos3\pi=\left(-1\right)+\left(-1\right)=-2\\
& \vdots
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่า

$$\left\{a_n\right\}=\left\{-2,2,-2,\cdots\right\}$$

\begin{eqnarray*}
b_{1} & = & 10\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=10\left(\frac{1}{2}\right)=5\\
b_{2} & = & 10\cos\left(4\pi-\frac{\pi}{3}\right)=10\left(\frac{1}{2}\right)=5\\
b_{3} & = & 10\cos\left(6\pi-\frac{\pi}{3}\right)=10\left(\frac{1}{2}\right)=5\\
& \vdots
\end{eqnarray*}

จึงได้ว่า 

$$\left\{b_n\right\}=\left\{5,5,5,\cdots\right\}$$

[STEP]หาผลรวมอนุกรม[/STEP]

จะเห็นว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี $r=-\frac25$ จึงใช้สูตรคำนวณผลรวมอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต $s_\infty = \frac{a_1}{1-r}$

\begin{eqnarray*}
\frac{a_{1}}{b_{1}}+\left(\frac{a_{2}}{b_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a_{3}}{b_{3}}\right)^{3}+\cdots& = & \left(-\frac{2}{5}\right)+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{3}+\cdots\\
& = & \frac{-\frac{2}{5}}{1-\left(-\frac{2}{5}\right)}\\
& = & -\frac{2}{7}
\end{eqnarray*}

[ANS]$-\frac27$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต