กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งอยู่ตรงข้ามมุม $A,B,C$ ตามลำดับ โดยที่

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}=\frac{3}{a+b+c}$$

แล้ว $\sin A$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการที่โจทย์ให้มา[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} & = & \frac{3}{a+b+c}\\
\frac{\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)} & = & \frac{3}{a+b+c}\\
\frac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)} & = & \frac{3}{a+b+c}
\end{eqnarray*}

คูณไขว้แล้วกระจายผลคูณทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\left(2a+b+c\right)\left(a+b+c\right) & = & 3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\
2a^{2}+b^{2}+c^{2}+3ab+3ac+2bc & = & 3\left(a^{2}+ab+ac+bc\right)\\
b^{2}+c^{2}-a^{2} & = & bc
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่ามีส่วนคล้ายสมการกฏของโคไซน์ที่มุม $A$

[STEP]ใช้กฏของโคไซน์ที่มุม $A$ แล้วแทนค่าสมการจากขั้นที่แล้ว[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a^{2} & = & b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\\
a^{2}-b^{2}-c^{2} & = & -2bc\cos A\\
-bc & = & -2bc\cos A\\
\cos A & = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

ซึ่งพบว่า $A=60^{\circ}$

[ANS]$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : กฎของโคไซน์