ให้ $\vec{u},\vec{v}$ และ $\vec{w}$ เป็นเวกเตอร์บนระนาบที่สอดคล้องกับ $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=\vec{0}$, $\vec{w}\cdot\vec{u}=8$ และ $\vec{w}\cdot\vec{v}=-2$

ถ้าเวกเตอร์ $\vec{u}$ กับ $\vec{w}$ ทำมุมกัน $\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}$ และเวกเตอร์ $\vec{v}$ กับ $\vec{w}$ ทำมุมกัน $\pi-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ แล้ว ค่าของ

$$\left|\vec{v}\right|^2+\left|\vec{u}\right|^2$$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]ดอทตลอดด้วย $\vec{w}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\vec{u}+\vec{v}-\vec{w} & = & \vec{0}\\
\vec{u}+\vec{v} & = & \vec{w}\\
\vec{w}\cdot\left(\vec{u}+\vec{v}\right) & = & \vec{w}\cdot\vec{w}\\
\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v} & = & \left|\vec{w}\right|^{2}\\
\left(8\right)+\left(-2\right) & = & \left|\vec{w}\right|^{2}\\
\left|\vec{w}\right|^{2} & = & 6\\
\left|\vec{w}\right| & = & \sqrt{6}
\end{eqnarray*}

 

จะได้ $\left|\vec{w}\right|=\sqrt{6}$

[STEP]ใช้สูตรผลดอทกับขนาดของ $\vec{w}\cdot\vec{u}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\vec{w}\cdot\vec{u} & = & \left|\vec{w}\right|\left|\vec{u}\right|\cos\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\
8 & = & \left(\sqrt{6}\right)\left|\vec{u}\right|\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\\
8\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} & = & \left|\vec{u}\right|\\
\left|\vec{u}\right| & = & 4
\end{eqnarray*}

 

ซึ่งจะได้ $\left|\vec{u}\right| = 4$

[STEP]ใช้สูตรผลดอทกับขนาดของ $\vec{w}\cdot\vec{v}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\vec{w}\cdot\vec{v} & = & \left|\vec{w}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\left(\pi-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\\
-2 & = & \left(\sqrt{6}\right)\left|\vec{v}\right|\left(-\cos\left(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)\right)\\
-2\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} & = & \left|\vec{v}\right|\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\
-2\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\left(-\sqrt{3}\right) & = & \left|\vec{v}\right|\\
\left|\vec{v}\right| & = & \frac{2}{\sqrt{2}}\\
\left|\vec{v}\right| & = & \sqrt{2}
\end{eqnarray*}

จะได้ $\left|\vec{v}\right| = \sqrt{2}$

[STEP]คำนวณ $\left|\vec{v}\right|^2+\left|\vec{u}\right|^2$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{v}\right|^{2}+\left|\vec{u}\right|^{2} & = & \left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(4\right)^{2}\\
& = & 2 + 16\\
& = & 18
\end{eqnarray*}

[ANS]$\left|\vec{v}\right|^2+\left|\vec{u}\right|^2=18$[/ANS]

โจทย์ข้อนี้ผู้ตั้งโจทย์ไม่รอบคอบนะครับ ถ้าน้องคนไหนใช้สองสมการ $\vec{u}-\vec{w}=-\vec{v}$ กับ $\vec{v}-\vec{w} = -\vec{u}$ หาขนาดของ $\vec{u}$ กับ $\vec{v}$ แล้วได้คำตอบเป็น $\frac{90}{7}$ ก็ไม่ต้องตกใจนะครับ น้องทำถูกต้องหมดทุกอย่างแล้วครับ :)

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ การดอทเวกเตอร์ สูตรขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์กับการดอท