กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ ที่มีมิติ $3\times 3$ และ $\det\left(A\right)\neq 0$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้องบ้าง (เลือกได้มากกว่า $1$ ข้อ)

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สูตร $A^{-1}$ คำนวณ $\det\left(\operatorname{adj}(A)\right)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
A^{-1} & = & \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}\left(A\right)\\
\operatorname{adj}\left(A\right) & = & \left(\det A\right)A^{-1}\\
\det\left(\operatorname{adj}\left(A\right)\right) & = & \det\left[\left(\det A\right)A^{-1}\right]
\end{eqnarray*}

ใช้กฏการดึงค่าคงตัวออกจาก $\det$ ได้

\begin{eqnarray*}
\det\left(\operatorname{adj}\left(A\right)\right) & = & \left(\det\left(A\right)\right)^{3}\det\left(A^{-1}\right)\\
& = & \left(\det\left(A\right)\right)^{3}\frac{1}{\det A}\\
& = & \left(\det\left(A\right)\right)^{2}
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ A ถูก[/ANS]

[STEP]ใช้สมบัติของ $\det$ หาค่า $\det$ ทั้งสองข้างของสมกา $A^2=3A$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\det\left(A^{2}\right) & = & \det\left(3A\right)\\
\left(\det\left(A\right)\right)^{2} & = & 3^{3}\det A\\
\frac{\left(\det\left(A\right)\right)^{2}}{\det A} & = & 27\\
\det\left(A\right) & = & 27
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ B ผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์