กำหนดให้ $A$ แทนเซตคำตอบของสมการ

$$5^{\left(1+2x\right)}+25^{\left(2-x\right)}=3126$$

แล้วเซต $A$ เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปแยกสัมประสิทธิ์และตัวแปรออกจากกัน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
5^{1+2x}+25^{2-x} & = & 3126\\
5^1\cdot 5^{2x}+25^{2}\cdot 25^{-x} & = & 3126\\
5\cdot5^{2x}+625\cdot5^{-2x} & = & 3126
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่าตัวแปร $a=5^{2x}$ แล้วแยกตัวประกอบ[/STEP]

ถ้าให้ $a=5^{2x}$ จะได้ว่า $5^{-2x} = \frac{1}{5^{2x}} = \frac{1}{a}$

เปลี่ยนตัวแปรเป็น $a$ จะได้

\begin{eqnarray*}
5\cdot(a)+625\cdot\frac{1}{a} & = & 3126\\
5a+\frac{625}{a} & = & 3126\\
5a^{2}+625 & = & 3126a\\
5a^{2}-3126a+625 & = & 0\\
\left(5a-1\right)\left(a-625\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $(5a-1)=0$ หรือ $(a-625)=0$

เปลี่ยน $a$ กลับไปเป็น $5^{2x}$ เหมือนเดิม และเปลี่ยน $\frac15$ และ $625$ เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลข $5$ แล้วแก้หาค่า $x$

\begin{eqnarray*}
(5a-1) & = & 0\\
5a & = & 1\\
a & = & \frac15\\
5^{2x} & = & \frac{1}{5}\\
5^{2x} & = & 5^{-1}\\
2x & = & -1\\
x & = & -\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

หรือ

\begin{eqnarray*}
(a-625) & = & 0\\
a & = & 625\\
5^{2x} & = & 625\\
5^{2x} & = & 5^{4}\\
2x & = & 4\\
x & = & \frac{4}{2}\\
x & = & 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเซตคำตอบของสมการ หรือ เซต $A$ คือ

$$A=\left\{-\frac12,2\right\}$$

[ANS]เป็นสับเซตของข้อ A[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล