ถ้า 

$$\operatorname{arccosec}x=\arccos\frac{4}{\sqrt{17}}-2\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}$$

แล้ว $\cot\left(\frac{\pi}{2}+\operatorname{arccosec}x\right)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $\cot\left(\frac{\pi}{2}+\operatorname{arccosec}x\right)$ ให้หาค่าง่ายขึ้น[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\cot\left(\frac{\pi}{2}+\operatorname{arccosec}x\right)& = & \tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}-\operatorname{arccosec}x\right)\\
& = & \tan\left(-\operatorname{arccosec}x\right)\\
& = & -\tan\left(\operatorname{arccosec}x\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]ให้ $A=\arccos\frac{4}{\sqrt{17}}$ และ $B=\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}$ วาดรูปประกอบ และหาค่า $\tan A$ และ $\tan B$[/STEP]

จะได้ $\tan A=\frac14$

จะได้ $\tan B=\frac12$

[STEP]หาค่า $\tan2B$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\tan2B & = & \frac{2\tan B}{1-\tan^{2}B}\\
& = & \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\\
& = & \frac{4}{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]กระจาย $\tan\left(A-2B\right)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\tan\left(A-2B\right) & = & \frac{\tan A-\tan2B}{1+\tan A\tan2B}\\
& = & \frac{\left(\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{4}{3}\right)}{1+\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{4}{3}\right)}\\
& = & -\frac{13}{16}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\cot\left(\frac{\pi}{2}+\operatorname{arccosec}x\right)& = & -\tan\left(\operatorname{arccosec}x\right)\\
& = & -\tan\left(A-2B\right)\\
& = & -\left(-\frac{13}{16}\right)\\
& = & \frac{13}{16}
\end{eqnarray*}

[ANS]  D $\frac{13}{16}$[/ANS]

สูตรที่ใช้ในการเปลี่ยน $\cot$ ไปเป็น $\tan$ คือ กลุ่มสูตรโคฟังก์ชัน 

$$\cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\tan\theta$$

ซึ่งในความเป็นจริงแล้วสูตรโคฟังก์ชันใช้ได้กับทุกๆ คู่โคฟังก์ชันของฟังก์ชันตรีโกณมิติเลยครับ  สูตรโคฟังก์ชันทั้งหมดมีดังนี้

\begin{eqnarray*}
\sin\left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos\theta & \qquad & \cos\left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin\theta\\
\tan\left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot\theta & \qquad & \cot\left(90^{\circ}-\theta\right)=\tan\theta\\
\sec\left(90^{\circ}-\theta\right)=\operatorname{cosec}\theta & \qquad & \operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)=\sec\theta
\end{eqnarray*}

 

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ