กำหนดให้ $f(x) = ax+\frac{b}{x}$  โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง  ถ้าเส้นตรง $y=1$ สัมผัสเส้นโค้ง $y=f(x)$ ที่จุด $(1,1)$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $f(x)$ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ $x=-1$
ข. ค่าของ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0} \left( f\circ{f} \right)(x+1) = f\left( 2a^2 + 2b^2 \right)$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

 

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $a,b$ จากเงื่อนไขเส้นสัมผัส[/STEP]

จากที่โจทย์บอกว่าเส้นตรง $y=1$ สัมผัสกับเส้นโค้ง $y=f(x)$ ที่จุด $(1,1)$ ทำให้เราได้ข้อมูลมาสองสมการ คือ

ข้อมูลแรก $y=f(x)$ จะต้องผ่านจุด $(1,1)$ เพราะว่ามีการสัมผัสกันระหว่างเส้นตรง $y=1$ และเส้นโค้ง $y=f(x)$ ที่จุด $(1,1)$ ซึ่งจะทำให้ได้สมการ $f(1) = 1$

ข้อมูลที่สอง คือ เส้นตรง $y=1$ เป็นเส้นตรงแนวนอนขนานกับแกน $x$ ซึ่งมีความชันเป็น $0$ ดังนั้นที่จุดสัมผัส $(1,1)$ เส้นโค้ง $y=f(x)$ จะต้องมีความชันเป็น $0$ ด้วยเช่นกัน นั่นคือ $f'(x)$ มีค่าเท่ากับศูนย์ที่จุด $(1,1)$ หรือเขียนเป็นสมการได้เป็น $f'(1)=0$

คำนวณอนุพันธ์ของ $f(x)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& ax+b\cdot x^{-1} \\
f'(x) &=& a + (-1)b x^{-2}\\
&=& a-\frac{b}{x^2}
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=1$ ลงใน $f'(x)$ และใช้เงื่อนไขสมการ $f'(1) = 0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
0 &=& f'(1) \\
&=& a -\frac{b}{(1)^2}\\
0&=& a-b\\
a &=& b
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ว่า $a=b$ จากนั้นแทนค่า $x=1$ ลงใน $f(x)$ และใช้เงื่อนไขสมการ $f(1) = 1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
1 &=& f(1) \\
&=& a(1) + \frac{b}{(1)}\\
&=& a+b
\end{eqnarray*}

แทนค่า $a=b$ ลงในสมการด้านบน แก้หาค่า $b$

\begin{eqnarray*}
1 &=& a+b\\
1 &=& (b) + b\\
1 &=& 2b\\
\frac12 &=& b
\end{eqnarray*}

จะได้ $b=\frac12$ และเนื่องจาก $a=b$ จึงได้ว่า $a=\frac12$ ด้วยเช่นกัน เราจึงทราบค่าของ $a,b$ และฟังก์ชัน $f(x)=\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}$ และมีอนุพันธ์เป็น $f'(x)=\frac12-\frac{1}{2x^2}$

[STEP]คำนวณอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองของ $f(x)$ ที่จุด $x=-1$ เพื่อตรวจสอบข้อความ ก.[/STEP]

จาก $f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2x^2}$ คำนวณค่าวิกฤตโดยแก้สมการ $f'(x) = 0$

\begin{eqnarray*}
\frac12 - \frac{1}{2x^2} &=& 0\\
1-\frac{1}{x^2} &=& 0\\
\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} &=& 0\\
\frac{x^2-1}{x^2} &=& 0\\
\frac{(x-1)(x+1)}{x^2} &=& 0\\
\end{eqnarray*}

จะได้คำตอบเป็น $x=1$ และ $x=-1$ เป็นค่าวิกฤต

คำนวณ $f''(x)$ จาก $f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2x^2}$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac12 - \frac12x^{-2}\\
f''(x) &=& 0 - (-2)\frac12x^{-3}\\
&=& \frac{1}{x^3}
\end{eqnarray*}

คำนวณ $f''(-1)$ โดยแทนค่า $x=-1$ ลงไป จะได้

$$f''(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1 < 0$$

เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองของ $f(x)$ ที่ค่าวิกฤต $x=-1$ มีค่า $f''(-1)<0$ จึงทำให้ทราบว่า $f(x)$ มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่ $x=-1$ ตามที่ข้อความ ก. กล่าวไว้

[ANS]ก. กล่าวถูก[/ANS]

[STEP]ตรวจสอบข้อความ ข.[/STEP]

คำนวณค่า $f\left(2a^2 + 2b^2\right)$ โดยการแทนค่า $a=\frac12$ และ $b=\frac12$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f\left( 2a^2 + 2b^2 \right) &=& f\left( 2\left(\frac12\right)^2 + 2\left(\frac12\right)^2 \right)\\
&=& f\left( 4 \left(\frac12\right)^2 \right)\\
&=& f\left( \cancel{4} \left(\frac{1}{\cancel{4}}\right) \right)\\
&=& f(1)\\
&=& 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้นด้านขวาของสมการในข้อ ข. มีค่าเท่ากับ $1$

คำนวณค่าลิมิต $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\left(f\circ f\right)\left(x+1\right)$ โดยอาศัยความต่อเนื่องที่จุด $x=1$ ของฟังก์ชัน $f(x)$ เราจึงสามารถคำนวณลิมิตโดยการแทนค่า $x=1$ เข้าไปได้เลย

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow0}\left(f\circ f\right)\left(x+1\right) & = & \left(f\circ f\right)\left(0+1\right)\\
 & = & f\left(f\left(0+1\right)\right)\\
 & = & f\left(1\right)\\
 & = & 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ว่ามีค่าเท่ากับ $1$ เช่นเดียวกับด้านขวาของสมการในข้อความ ข.

[ANS]ข. กล่าวถูก[/ANS]

[ANS]ก. ถูก และ ข. ถูก[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผัส ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์