,

โจทย์ต้องการ

$$\left(sg\right)(1)$$

ซึ่ง

$$\left(sg\right)(1)=s(1)\cdot g(1)$$

เพราะฉะนั้นเราจะหาค่าของ

$$s(1)\quad\text{และ}\quad g(1)$$

จากนั้นจึงนำมาคูณกัน

,

จาก 

$$g\left(f(x)\right)=x^2+2x-1\quad\text{และ}\quad f(x)=x+1$$

จะได้ว่า

$$g(x+1)=x^2+2x-1$$

เราต้องการหาค่าของ $g(1)$ ดังนั้นแทน $x=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} g(0+1)&=&0^2+2\cdot0-1\\ g(1)&=&-1 \end{eqnarray*}$$

,

จาก

$${\displaystyle s(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left[g(x+h)\right]^2-\left[g(x)\right]^2}{h}}$$

จะได้

$$\begin{eqnarray*} s(x)&=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left[g(x+h)\right]^2-\left[g(x)\right]^2}{h}\\ &=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(g(x+h)-g(x)\right)\cdot\left(g(x+h)+g(x)\right)}{h}\\ &=&\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\cdot\left(g(x+h)+g(x)\right)\\ \end{eqnarray*}$$

กระจาย ${\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}}$ เข้าไปในผลคูณของ $\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)$ กับ $\left(g(x+h)+g(x)\right)$ จะได้

$$=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\left(g(x+h)+g(x)\right)\\$$

จะเห็นว่าลิมิตพจน์ทางซ้ายตรงกับสูตรของอนุพันธ์ของ $g(x)$ คือ $g'(x) = {\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)}$

ส่วนลิมิตพจน์ทางขวาสามารถใช้เทคนิคแทนค่า $h=0$ ได้เลย คือ

$$\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow0}\left(g\left(x+h\right)+g\left(x\right)\right) & = & \lim_{h\rightarrow0}g\left(x+h\right)+\lim_{h\rightarrow0}g\left(x\right)\\  & = & g\left(x+\left(0\right)\right)+g\left(x\right)\\  & = & g\left(x\right)+g\left(x\right)\\  & = & 2g\left(x\right) \end{eqnarray*}$$

(สังเกตุว่าตัวแปรที่เราแทนค่าเป็นศูนย์ คือ $h$ ส่วนตัวแปร $x$ ไม่เกี่ยวด้วยก็เลยต้องติดค้างไว้แบบนั้นต่อไป)

ดังนั้นเราจะได้ว่าลิมิตของผลคูณดังกล่าวคำนวณแล้วได้ดังนี้

$$\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\left(g(x+h)+g(x)\right)=g'(x)\cdot2g(x)$$

เราจึงสรุปได้ว่า $s(x) = g'(x) \cdot 2g(x)$ 

เมื่อแทนค่า $x=1$ ลงไป ก็จะได้

$$s(1)=g'(1)\cdot2g(1)$$

ทำให้เราจะต้องหาค่าของ $g'(1)$

จาก $g\left(f(x)\right)=x^2+2x-1$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} g'\left(f(x)\right)\cdot f'(x)&=&2x+2\\ g'(1+x)\cdot(1)&=&2x+2\\ g'(1+x)&=&2x+2 \end{eqnarray*}$$

แทน $x=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} g'(1+0)&=&2\cdot0+2\\ g'(1)&=&2 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} s(1)&=&g'(1)\cdot2g(1)\\ &=&2\cdot2\cdot(-1)\\ &=&-4 \end{eqnarray*}$$

,

$$\begin{eqnarray*} (sg)(1)&=&s(1)\cdot g(1)\\ &=&(-4)\cdot(-1)\\ &=&4 \end{eqnarray*}$$