กำหนดให้ $$8\cos2\theta+8\sec2\theta=65$$

สำหรับบาง $\theta$ ที่ $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$

จงหาค่าของ $160\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}\sin\displaystyle\frac{5\theta}{2}$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการหาค่า $\cos2\theta$[/STEP]

จะเห็นว่าสมการ $8\cos2\theta+8\sec2\theta=65$ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ $\cos2\theta$ ตัวแปรเดียวได้ เราจึงแทนค่าตัวแปร $a=\cos2\theta$ จะได้สมการ

$$8a+\frac{8}{a}=65$$

คูณตลอดด้วย $a$ ตลอดทั้งสมการจากนั้นแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ โดยกำหนดให้ $a\neq0$ จะได้ 

\begin{eqnarray*}
8a+\frac{8}{a} & = & 65\\
8a^{2}+8 & = & 65a\\
8a^{2}-65a+8 & = & 0\\
\left(8a-1\right)\left(a-8\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้คำตอบของตัวแปร $a$ สองคำตอบ คือ $a=8$ กับ $a=\frac18$ แต่เนื่องจากว่า $a=\cos2\theta$ ซึ่งคอสมีค่าไม่เกิน $1$ จึงตัดคำตอบ $a=8$ ทิ้งไป และเหลือคำตอบเดียว คือ $a=\frac18$ หรือเมื่อแทนค่า $a=\cos2\theta$ กลับลงไปก็จะได้สมการ

$$\cos2\theta = \frac18$$

พิจารณาจากเงื่อนไขของ $\theta$ ที่ว่า $0< \theta <90^{\circ}$ จะได้ว่า $0< 2\theta <180^{\circ}$ (ต้องขยายช่วงเป็นสองเท่า เพราะเรากำลังแก้สมการตรีโกณที่มีมุมเป็นสองเท่า) เมื่อพิจารณาค่าของ $2\theta$ แล้วพบว่า $2\theta$ อยู่ในจตุภาคที่ $1$ เท่านั้นเพราะว่า $\cos2\theta$ มีค่าเป็นบวก

ดังนั้นเราจึงทราบว่า $0<2\theta<90^{\circ}$ หรือ $0<\theta<45^{\circ}$

สาเหตุที่เราต้องพิจารณาว่า $\theta$ อยู่ในช่วงที่แคบลงก็เพื่อจะจำกัดเครื่องหมายของค่า $\sin$ ของ $\theta$ ให้เหลือน้อยกรณีที่สุด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณค่า $160\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2}$ มากที่สุด

[STEP]คำนวณค่า $160\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2}$[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้ว เราทราบว่า $\cos2\theta = \frac18$ และสิ่งที่โจทย์ต้องการให้คำนวณ คือ $\sin\frac{\theta}{2}$ กับ $\sin\frac{5\theta}{2}$ ซึ่งจะคำนวณได้ต้องทราบค่าตรีโกณของมุม $\theta$ ก่อน แล้วจึงจะคำนวณค่าตรีโกณของมุม $\frac{\theta}{2}$ ได้

ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นจากการคำนวณค่า $\cos\theta$ เพื่อนำไปใช้คำนวณต่อได้โดยใช้สูตร $\cos2\theta = 2\cos^2\theta -1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\cos2\theta & = & 2\cos^{2}\theta-1\\
\frac{1}{8} & = & 2\cos^{2}\theta-1\\
\frac{\frac{1}{8}+1}{2} & = & \cos^{2}\theta\\
\cos^{2}\theta & = & \frac{\frac{1}{8}+\frac{8}{8}}{2}\\
\cos^{2}\theta & = & \frac{9}{16}
\end{eqnarray*}

เมื่อถอดรากที่สองทั้งสองข้างจะได้

\begin{eqnarray*}
\cos^{2}\theta & = & \frac{9}{16}\\
\cos^{2}\theta & = & \left(\frac{3}{4}\right)^{2}\\
\cos\theta & = & \pm\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $\cos\theta$ มีโอกาสเป็น $\frac34$ หรือ $-\frac34$ แต่เนื่องจากในขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่า $\theta$ เป็นมุมแหลม เราจึงทราบว่า $\cos\theta$ จะต้องมีค่าเป็นบวกเท่านั้น นั่นคือ $\cos\theta = \frac34$

หลังจากนี้เราสามารถใช้สูตร $\cos2\frac{\theta}{2} = 2\cos^2\frac{\theta}{2} -1$  เพื่อคำนวณ $\cos\frac{\theta}{2}$ และคำนวณค่า $\sin\frac{\theta}{2}$ ต่อก็สามารถทำได้ แต่ในกรณีของข้อนี้ อาจจะทำให้การคำนวณยากเกินไป เราจึงจะใช้วิธีจัดรูป $160\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2}$ เสียใหม่ก่อนที่จะคำนวณต่อไป  โดยเราจะใช้สูตรเปลี่ยนผลคูณฟังก์ชันตรีโกณไปเป็นผลบวก

$$-2\sin A \sin B = \cos(A+B) - \cos(A-B)$$

ซึ่งจะได้

\begin{eqnarray*}
160\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2} & = & -80\left(-2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2}\right)\\
 & = & -80\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}+\frac{5\theta}{2}\right)-\cos\left(\frac{\theta}{2}-\frac{5\theta}{2}\right)\right)\\
 & = & -80\left(\cos3\theta-\cos\left(-2\theta\right)\right)\\
 & = & -80\left(\cos3\theta-\cos2\theta\right)\\
 & = & -80\cos3\theta + 80\cos2\theta
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเราสามารถแทนค่า $\cos2\theta=\frac18$ จากขั้นตอนที่แล้วได้เลย ส่วน $\cos3\theta$ จะต้องใช้สูตรมุมสามเท่าเพื่อคำนวณค่า $\cos3\theta$ จาก $\cos\theta=\frac34$

จากสูตรมุมสามเท่า $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ จะได้

\begin{eqnarray*}
160\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2} & = & -80\cos3\theta+80\cos2\theta\\
 & = & -80\left(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\right)+80\cos2\theta
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\cos\theta = \frac34$ และ $\cos2\theta=\frac18$ จะได้

\begin{eqnarray*}
160\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2} & = & -80\left(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\right)+80\cos2\theta\\
 & = & -80\left(4\left(\frac{3}{4}\right)^{3}-3\left(\frac{3}{4}\right)\right)+80\left(\frac{1}{8}\right)\\
 & = & -80\left(\frac{27}{16}-\frac{9}{4}\right)+10\\
 & = & 55
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงได้ว่า $160\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{5\theta}{2} = 55$

[ANS]$55$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า สูตรเปลี่ยนคูณเป็นบวก สูตรมุมสามเท่า สูตรมุมครึ่ง