,

โจทย์บอกว่าเส้นตรง $L_1$ ผ่านจุด $(-2,-4)$ และมีความชันเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเราสมมุติให้ $L_1$ มีจุดตัดแกน $x$ เป็น $A(a,0)$ และมีจุดตัดแกน $y$ เป็น $B(0,b)$ (ระยะตัดแกน $x$ ของ $L_1$ เท่ากับ $a$ และระยะตัดแกน $y$ ของ $L_1$ เท่ากับ $b$) จะวาดรูปประกอบได้แตกต่างกัน $2$ แบบ

จากข้อมูลที่ว่าผลรวมระยะตัดแกนมีค่าเท่ากับ $3$ ทำให้เราได้สมการความสัมพันธ์

ไม่ว่าจะเป็นรูปใด เราจะได้ว่าเส้นตรง $L_1$ ต้องผ่านจุด $(-2,-4)$, $(a,0)$ และ $(0,b)$ ดังนั้นความชันระหว่างจุด $(-2,-4)$ ไปยังจุด $(a,0)$ กับความชันระหว่างจุด $(-2,-4)$ ไปยังจุด $(0,b)$ ย่อมต้องมีค่าเท่ากัน

คำนวณความชันระหว่างจุด $(-2,-4)$ กับ $(a,0)$

$$\begin{eqnarray*} m & = & \frac{\Delta y}{\Delta x}\\  & = & \frac{-4-0}{-2-a}\\  & = & \frac{-4}{-2-a}\\  & = & \frac{4}{a+2} \end{eqnarray*}$$

คำนวณความชันระหว่างจุด $(-2,-4)$ กับ $(0,b)$

$$\begin{eqnarray*} m & = & \frac{\Delta y}{\Delta x}\\  & = & \frac{-4-b}{-2-0}\\  & = & \frac{-4-b}{-2}\\  & = & \frac{b+4}{2} \end{eqnarray*}$$

นำความชันจากทั้งสองค่ามาเท่ากัน แล้วคูณไขว้ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \frac{4}{a+2} & = & \frac{b+4}{2}\\ \left(4\right)\left(2\right) & = & \left(b+4\right)\left(a+2\right)\\ 8 & = & \left(b+4\right)\left(a+2\right) \end{eqnarray*}$$

จากสมการ $a+b=3$ จะได้ $b=3-a$ แทนค่าลงในสมการจากความชัน

$$\begin{eqnarray*} 8 & = & \left(b+4\right)\left(a+2\right)\\ 8 & = & \left(\left(3-a\right)+4\right)\left(a+2\right)\\ 8 & = & \left(7-a\right)\left(a+2\right)\\ 8 & = & 7a+14-a^{2}-2a \end{eqnarray*}$$

ย้ายไปข้างเดียวกันของสมการ แล้วแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ

$$\begin{eqnarray*} a^{2}+2a-7a+8-14 & = & 0\\ a^{2}-5a-6 & = & 0\\ \left(a-6\right)\left(a+1\right) & = & 0 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นจะได้ค่า $a=-6$ หรือ $a=-1$

กรณี $a=6$

แทนค่า $a=6$ ลงใน $a+b=3$ จะได้ $b=3-a=3-6=-3$ เมื่อคำนวณความชันระหว่างจุดตัดแกนของ $L_1$ คือระหว่างจุด $(6,0)$ กับจุด $(0,-3)$ จะได้ความชันเป็น $\frac12$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นกรณี $\cancel{a=6}$ จึงใช้ไม่ได้

กรณี $a=-1$

แทนค่า $a=-1$ ลงใน $a+b=3$ จะได้ $b=3-a = 3-(-1) = 4$ เมื่อคำนวณความชันระหว่างจุดตัดแกนของ $L_1$ คือ ระหว่างจุด $(-1,0)$ กับจุด $(0,4)$ จะได้ความชันเป็น $4$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นกรณีนี้จึงใช้ได้

เราจึงได้ว่า $a=-1$ และ $b=4$ โดยมีจุดตัดแกน $x$ เป็น $(-1,0)$ และมีจุดตัดแกน $y$ เป็น $(0,4)$

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่า $L_1$ มีความชันเท่ากับ $4$ และโจทย์บอกว่า $L_2$ ขนานกับ $L_1$ จึงมีความชันเท่ากัน คือ เท่ากับ $m=4$

ดังนั้นเส้นตรง $L_2$ ซึ่งผ่านจุด $(0,-13)$ และมีความชัน $m=4$ สามารถสร้างเป็นสมการได้ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} y-y_{1} & = & m\left(x-x_{1}\right)\\ y-\left(-13\right) & = & 4\left(x-0\right)\\ y+13 & = & 4x\\ y-4x+13 & = & 0 \end{eqnarray*}$$

,

จากข้อมูลที่เราทราบ คือ เส้นตรง $L_1$ ผ่านจุด $(-2,-4)$ ตัดแกนที่จุด $(-1,0)$ และ $(0,4)$ และเส้นตรง $L_2$ คือ $y-4x+13=0$ สามารถวาดรูปประกอบและลงจุด $C$ คร่าวๆ เพื่อให้ $CA=CB$ ตามที่โจทย์ต้องการได้ดังรูป

จากรูปจะเห็นว่าเราไม่จำเป็นต้องหาพิกัด $C$ ก็ได้ เราสามารถคำนวณพื้นที่รูปสามเหลี่ยม $ABC$ ได้จากการมองว่า $AB$ เป็นฐาน และส่วนสูงคือส่วนของเส้นตรงจากจุด $C$ ไปตั้งฉากกับ $AB$ ซึ่งจะมีความสูงสามเหลี่ยม $ABC$ นี้เท่ากับระยะห่างระหว่างเส้นขนาน $L_1$ กับ $L_2$ พอดี และระยะห่างระหว่าง $L_1$ กับ $L_2$ สามารถคำนวณจากระยะห่างจากจุด $(-2,-4)$ ไปยังเส้นตรง $L_2$ แทนก็ได้ (เพื่อจะได้ไม่ต้องคำนวณหาเส้นตรง $L_1$)

คำนวณส่วนสูงของ $ABC$ จากระยะห่างจากจุด $(-2,-4)$ ไปยังเส้นตรง $y-4x+13=0$

$$\begin{eqnarray*} h & = & \frac{\left|\left(-4\right)-4\left(-2\right)+13\right|}{\sqrt{1^{2}+\left(-4\right)^{2}}}\\  & = & \frac{\left|-4+8+13\right|}{\sqrt{1+16}}\\  & = & \frac{17}{\sqrt{17}}\\  & = & \sqrt{17} \end{eqnarray*}$$

คำนวณความฐานของสามเหลี่ยม $ABC$ คือความยาวระหว่างจุด $(-1,0)$ กับ $(0,4)$

$$\begin{eqnarray*} b & = & \sqrt{\left(-1-0\right)^{2}+\left(0-4\right)^{2}}\\  & = & \sqrt{1+16}\\  & = & \sqrt{17} \end{eqnarray*}$$

คำนวณพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$

$$\begin{eqnarray*} \text{พื้นที่ }ABC & = & \frac{1}{2}bh\\  & = & \frac{1}{2}\left(\sqrt{17}\right)\left(\sqrt{17}\right)\\  & = & \frac{17}{2}\\  & = & 8.5 \text{ ตารางหน่วย} \end{eqnarray*}$$