กำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และสอดคล้องกับสมการ

$$\left( f\circ{g} \right) (x) = \sqrt{x^2 + 5}\quad\text{ สำหรับทุกๆ }x\text{ ในโดเมนของ }f\circ{g}$$

และ

$$\int{g}(x)\,dx = x^2 - 4x + c\quad\text{ เมื่อ }c\text{ เป็นค่าคงตัว}$$

ถ้า $L$ เป็นเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง $y=f(x)$ ที่ $x=0$ แล้ว เส้นตรง $L$ ตั้งฉากกับสมการเส้นตรงในข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณหา $g(x)$[/STEP]

เนื่องจากโจทย์กำหนด $\int g(x)\,dx = x^2 - 4x + c$ มาให้ เราสามารถคำนวณหา $g(x)$ ได้ง่ายๆ ด้วยการดิฟทั้งสองข้างของสมการนี้

\begin{eqnarray*}
\int g\left(x\right)\, dx & = & x^{2}-4x+c\\
\frac{d}{dx}\int g\left(x\right)\, dx & = & \frac{d}{dx}\left(x^{2}-4x+c\right)\\
g\left(x\right) & = & 2x-4
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $g(x) = 2x-4$

[STEP]คำนวณ $f(x)$ โดยใช้ $g^{-1}(x)$[/STEP]

จาก $g(x) = 2x-4$ คำนวณหา $g^{-1}(x)$ โดยเปลี่ยน $g(x)$ เป็น $y$ สลับตัวแปรระหว่าง $x$ กับ $y$ แล้วจัดรูปให้ได้ $y$ ในเทอมของ $x$

\begin{eqnarray*}
x & = & 2y-4\\
x+4 & = & 2y\\
\frac{x+4}{2} & = & y
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $g^{-1}(x) = \frac{x+4}{2}$

แทนค่า $x$ ด้วย $g^{-1}(x)$ ลงใน $\left(f\circ{g}\right)(x) = \sqrt{x^2+5}$ เพื่อกำกัด $g$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ g\right)\left(x\right) & = & \sqrt{x^{2}+5}\\
\left(f\circ g\right)\left(g^{-1}\left(x\right)\right) & = & \sqrt{\left(g^{-1}\left(x\right)\right)^{2}+5}\\
\left(f\circ g\circ g^{-1}\right)\left(x\right) & = & \sqrt{\left(\frac{x+4}{2}\right)^{2}+5}\\
f\left(x\right) & = & \sqrt{\frac{x^{2}+8x+16}{4}+\frac{20}{4}}\\
f\left(x\right) & = & \sqrt{\frac{x^{2}+8x+36}{4}}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $f'(0)$[/STEP]

เนื่องจากโจทย์ต้องการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับกับเส้นสัมผัสกราฟ $y=f(x)$ ที่ $x=0$ เราจึงต้องใช้ความชันของ $y=f(x)$ ที่จุด $x=0$ นั่นคือ เราต้องคำนวณ $f'(x)$ และ แทนค่า $x=0$ เพื่อหา $f'(0)$

จากขั้นตอนที่แล้วเราทราบว่า $f(x) = \sqrt{\frac{x^2+8x+36}{4}}$ นำฟังก์ชันนี้มาดิฟโดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \left(\frac{x^{2}+8x+36}{4}\right)^{\frac{1}{2}}\\
f'\left(x\right) & = & \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{x^{2}+8x+36}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{2x+8}{4}\right)
\end{eqnarray*}

เราไม่จำเป็นจะต้องจัดรูป $f'(x)$ เพราะสิ่งเดียวที่เราต้องการ คือ $f'(0)$ ดังนั้นเราสามารถแทนค่า $x=0$ เข้าไปในสูตร $f'(x)$ ด้านบนได้เลย

\begin{eqnarray*}
f'\left(0\right) & = & \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{0^{2}+8\left(0\right)+36}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{2\left(0\right)+8}{4}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{36}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{8}{4}\right)\\
 & = & \left(9\right)^{-\frac{1}{2}}\\
 & = & \frac{1}{\sqrt{9}}\\
 & = & \frac{1}{3}
\end{eqnarray*}

 

ดังนั้น $f'(0)=\frac13$ เราจึงทราบว่าเส้นสัมผัสกราฟ $y=f(x)$ ที่จุด $x=0$ มีความชันเท่ากับ $\frac13$

[STEP]ตรวจสอบช้อยส์จากความชัน[/STEP]

เราทราบมาแล้วว่าเส้นสัมผัสกราฟ $y=f(x)$ ที่ $x=0$ มีความชันเท่ากับ $\frac13$ แสดงว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสนี้จะต้องมีความชันคูณกับ $\frac13$ แล้วได้ค่าเท่ากับ $-1$ ดังนั้นถ้าความชันของเส้นตั้งฉากเท่ากับ $m$ จะได้สมการ

$$\frac13\times m = -1$$

ซึ่งจะได้ $m=-3$ และช้อยส์เดียวที่สมการเส้นตรงมีความชันเท่ากับ $-3$ ก็ คือ ช้อยส์ C สมการ $3x+y-5=0$

[ANS]ข้อ C สมการ $L$ คือ $3x+y-5=0$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ นิยามปริพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต อินเวอร์สฟังก์ชัน