,

เนื่องจากตัวแปรทั้งหมดเป็นจำนวนจริงบวก เราจึงสามารถคูณทั้งสองข้างของอสมการเพื่อจัดรูปอสมการใหม่ได้

จากอสมการ $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ คูณตลอดด้วย $b\cdot{d}$

$$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} & < & \frac{c}{d}\\ \left(b\cdot d\right)\frac{a}{b} & < & \left(b\cdot d\right)\frac{c}{d}\\ \left(\cancel{b}\cdot d\right)\frac{a}{\cancel{b}} & < & \left(b\cdot \cancel{d}\right)\frac{c}{\cancel{d}}\\ ad & < & bc \end{eqnarray*}$$

จากนั้นลองทำเช่นเดียวกับข้อสรุปในข้อความ ก. คือ คูณตลอดด้วย $(b\cdot d)$ ในอสมการ $\frac{a+x}{b}<\frac{c+x}{d}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \frac{a+x}{b} & < & \frac{c+x}{d}\\ \left(b\cdot d\right)\frac{a+x}{b} & < & \left(b\cdot d\right)\frac{c+x}{d}\\ \left(\cancel{b}\cdot d\right)\frac{a+x}{\cancel{b}} & < & \left(b\cdot \cancel{d}\right)\frac{c+x}{\cancel{d}}\\ d\left(a+x\right) & < & b\cdot\left(c+x\right)\\ ad+dx & < & bc+bx \end{eqnarray*}$$

ซึ่งจะเห็นว่าการจะได้ข้อสรุปเป็นอสมการ $ad+dx < bc+bx$ ได้นั้น จะเกิดจากสองอสมการต่อไปนี้มาบวกกัน

$$\begin{eqnarray*} ad & < & bc\qquad\cdots(1)\\ dx & < & bx\qquad\cdots(2) \end{eqnarray*}$$

ในอสมการที่สอง เราสามารถหารตลอดด้วย $x$ จะได้ $d<b$ ซึ่งอาจจะไม่เป็นจริงก็ได้  เราจึงเชื่อว่าข้อความ ก. น่าจะกล่าวผิด

,

เราต้องการตัวอย่างค้านซึ่ง $ad<bc$ แต่ $ad+dx \not< bc+bx$ เพื่อแสดงว่าข้อความ ก. กล่าวผิด เช่น

$a=1,b=2,c=6,d=10$ และ $x=1$

จะได้ว่า $ad = (1)(10) = 10$, $bc=(2)(6)=12$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $ad<bc$ เพราะว่า $10<12$

ส่วน $$ad+dx=(1)(10)+(10)(1) = 10+10 = 20,$$

$$bc+bx=(2)(6)+(2)(1) = 12+2=14$$

ซึ่งจะเห็นว่าไม่สอดคล้องกับอสมการข้อสรุป $ad+dx < bc+bx$ เพราะว่า $20\not<14$ 

,

จากอสมการ $\frac{a}{b} < \frac{a+x}{b+x}$ คูณตลอดด้วย $b(b+x)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} & < & \frac{a+x}{b+x}\\ b\left(b+x\right)\left(\frac{a}{b}\right) & < & b\left(b+x\right)\left(\frac{a+x}{b+x}\right)\\ \cancel{b}\left(b+x\right)\left(\frac{a}{\cancel{b}}\right) & < & b\left(\bcancel{b+x}\right)\left(\frac{a+x}{\bcancel{b+x}}\right)\\ \left(b+x\right)a & < & b\left(a+x\right)\\ ab+ax & < & ab+bx \end{eqnarray*}$$

จัดรูปให้ง่ายขึ้นโดยการกำจัดพจน์ $ab$ และตัวแปร $x$ โดยการลบทั้งสองข้างด้วย $ab$ และหารตลอดด้วย $x$

$$\begin{eqnarray*} ab+ax & < & ab+bx\\ ax & < & bx\\ a & < & b \end{eqnarray*}$$

ซึ่งอสมการสุดท้ายที่ได้ไม่จำเป็นจะต้องเป็นจริงเสมอไป ดังนั้นข้อความ ข. น่าจะกล่าวผิด

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราพบว่าข้อสรุปจากการจัดรูปอสมการ $\frac{a}{b}<\frac{a+x}{b+x}$ คือ $a<b$ เราจึงยกตัวอย่างค้านที่ $a\not<b$ เช่น

$a=2,b=c=d=x=1$ จะได้ว่า

$$\frac{a}{b} = \frac{2}{1}=2$$

และ

$$\frac{a+x}{b+x} = \frac{2+1}{1+1} = \frac32$$

จะเห็นว่า $2\not<\frac32$ ดังนั้น ข้อความ $\frac{a}{b} < \frac{a+x}{b+x}$ จึงไม่ได้เป็นจริงเสมอไป