,

แก้อสมการ $2x^2+x-3\leq0$

แยกตัวประกอบ $2x^2+x-3$ เป็นสองวงเล็บ แล้วเขียนเส้นจำนวนหาช่วงคำตอบ

$$(x-1)\left(2x+3\right) \leq0$$

จะได้เซตคำตอบของอสมการ $2x^2+x-3\leq0$ เป็น $\left[-\frac32,1\right]$

แก้อสมการ $\left|x-2\right| \leq3$ โดยยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$$\begin{eqnarray*} \left|x-2\right| & \leq & 3\\ \left|x-2\right|^{2} & \leq & 3^{2}\\ \left(x-2\right)^{2}-3^{2} & \leq & 0\\ \left[\left(x-2\right)-3\right]\left[\left(x-2\right)+3\right] & \leq & 0 \end{eqnarray*}$$

คำนวณค่าในวงเล็บ

$$\begin{eqnarray*} \left[\left(x-2\right)-3\right]\left[\left(x-2\right)+3\right] & \leq & 0\\ \left[x-5\right]\left[x+1\right] & \leq & 0 \end{eqnarray*}$$

เขียนเส้นจำนวนหาช่วงคำตอบได้ดังนี้

เซตคำตอบของอสมการติดค่าสัมบูรณ์นี้ คือ $\left[-1,5\right]$

,

จากขั้นตอนที่แล้ว เราสามารถเปลี่ยนข้อความ $2x^2+x-3\leq0$ ไปเป็น $x\in\left[-\frac32,1\right]$ และเปลี่ยน $\left|x-2\right| \leq3$ ไปเป็น $x\in\left[-1,5\right]$ ได้ จึงได้ว่าประพจน์ $\forall x \left[ x \in R \mid 2x^2+x-3\leq 0\,\wedge\,\left|x-2\right|\leq3\right]$ สมมูลกับ

$$\begin{eqnarray*}  & \equiv & \forall x\left[x\in R\mid2x^{2}+x-3\leq0\,\wedge\,\left|x-2\right|\leq3\right]\\  & \equiv & \forall x\left[x\in R\mid x\in\left[-\frac{3}{2},1\right]\,\wedge\, x\in\left[-1,5\right]\right]\\  & \equiv & \forall x\left[x\in R\mid x\in\left[-\frac{3}{2},1\right]\cap\left[-1,5\right]\right]\\  & \equiv & \forall x\left[x\in R\mid x\in\left[-1,1\right]\right] \end{eqnarray*}$$

โจทย์บอกว่า $A$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประพจน์ $\forall x\left[x\in R\mid x\in\left[-1,1\right]\right]$ มีค่าความจริงเป็นจริง จะเห็นว่า $A=\left[-1,1\right]$ เป็นเซตที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะทำให้ประพจน์ $\forall x\left[x\in R\mid x\in\left[-1,1\right]\right]$ มีค่าความจริงเป็น ดังนั้น $A$ จึงน่าจะเป็น $\left[-1,1\right]$ 

ในความเป็นจริงโจทย์ควรกำหนดให้รัดกุมกว่านี้ว่าให้ $A$ เป็นเซตที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริง

,

จะเห็นว่าเซต $B$ คือ เซตคำตอบของอสมการ $6x^{-2} - 5x^{-1} - 1 >0$ เราจึงแก้อสมการนี้เพื่อหาเซตคำตอบ

เริ่มต้นเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนาม แล้วรวมส่วนเข้าด้วยกัน

$$\begin{eqnarray*} 6x^{-2}-5x^{-1}-1 & > & 0\\ \frac{6}{x^{2}}-\frac{5}{x}-1 & > & 0\\ \frac{6}{x^{2}}-\frac{5}{x}\cdot\frac{x}{x}-1\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}} & > & 0\\ \frac{6-5x-x^{2}}{x^{2}} & > & 0 \end{eqnarray*}$$

ปรับสัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ ให้เป็นบวกโดยคูณด้วย $-1$ ทั้งสองข้างของอสมการแล้วกลับเครื่องหมายของอสมการ แล้วแยกตัวประกอบเป็นวงเล็บ

$$\begin{eqnarray*} \left(-1\right)\left(\frac{6-5x-x^{2}}{x^{2}}\right) & < & \left(-1\right)\left(0\right)\\ \frac{x^{2}+5x-6}{x^{2}} & < & 0\\ \frac{\left(x+6\right)\left(x-1\right)}{x^{2}} & < & 0 \end{eqnarray*}$$

เขียนเส้นจำนวนโดยที่ลงจุด $x=-6,x=1$ และ $x=0$ แล้วเขียนเครื่องหมายเพื่อหาช่วงคำตอบ

ทำให้ได้ช่วงคำตอบของอสมการนี้เป็น $\left(-6,0\right)\cup\left(0,1\right)$

ดังนั้นเซต $B$ คือ $B=\left(-6,0\right)\cup\left(0,1\right)$

,

จากข้อมูลในขั้นตอนที่แล้ว เราทราบว่า

$A=\left[-1,1\right]$
$B=\left(-6,0\right)\cup\left(0,1\right)$

จะเห็นว่า $A\not\subset{B}$ เพราะว่าใน $A$ มี $0$ แต่ใน $B$ ไม่มี $0$ ดังนั้นช้อยส์แรกผิด

คำนวณ $A-B$ จะได้ $A-B  = \{0,1\}$ ซึ่งมีสมาชิก $2$ ตัวพอดี ข้อความในช้อยส์ $B$ ถูกต้อง

ถ้าต้องการตรวจสอบช้อยส์อื่นๆ สามารถทำได้ดังนี้

ช้อยส์ C คำนวณ $(A-B)\cup (B-A)$ ได้

$A-B = \{0,1\}$ ส่วน $B-A=(-6,-1)$ เมื่อนำมายูเนี่ยนกันจะได้ $(A-B)\cup(B-A) = \{0,1\}\cup(-6,-1) = (-6,-1)\cup\{1\}$ ซึ่งไม่ตรงกับในช้อยส์ C ดังนั้นช้อยส์ C กล่าวผิด

ช้อยส์ D คำนวณ ใช้ $B-A = (-6,-1)$ จากขั้นตอนที่แล้วมาตรวจสอบว่า $(-6,0)\cup{B-A}$ ใช่หรือไม่ นั่นคือเราต้องตรวจสอบว่า $(-6,0) \subset (-6,-1)$ ซึ่งไม่เป็นจริง ดังนั้นช้อยส์ D ผิด