,

จากสูตรความแปรปรวน

$$\displaystyle s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n}$$

หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล $1, 2, 3, ..., n, -1, -2, -3, ..., -n$

$$\begin{eqnarray*} \overline{x} &=& \frac{1 + 2 + 3 + ... + n - 1 - 2 - 3 - ... - n}{2n}\\ &=& \frac{0}{2n}\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น ความแปรปรวนคือ

$$\begin{eqnarray*} 46 &=& \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + ... + (-n)^2}{2n}\\ 46 &=& \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{2n}\\ 46 &=& \frac{2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)}{2n}\\ 46 &=& \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n} \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n}{6} (n+1) (2n+1)$

$$\begin{eqnarray*} 46 &=& \frac{\frac{\cancel{n}}{6} (n+1) (2n+1)}{\cancel{n}}\\ 276 &=& 2n^2 + 3n + 1\\ 0 &=& 2n^2 + 3n - 275\\ 0 &=& (2n + 25)(n - 11) \end{eqnarray*}$$

แต่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก เราจึงได้ว่า $n = 11$

,

เราได้ว่า $n = 11$ ดังนั้นข้อมูลของเราคือ $1^3 , 2^3 , 3^3 , ..., 11^3$

จากสูตร $\displaystyle 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[ \frac{n}{2} (n+1) \right]^2$

$$\begin{eqnarray*} \text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิต} &=& \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 11^3}{11}\\ &=& \frac{\left[ \frac{11}{2} (12) \right]^2}{11}\\ &=& \frac{[(11)(6)]^2}{11}\\ &=& 396 \end{eqnarray*}$$