กำหนดให้ $f(x) = x^3 + ax + b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f(x)$ เทียบกับ $x$ ในช่วง $-1$ ถึง $1$ เท่ากับ $-2$ และ $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) dx = 2$ แล้ว

จงหา $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3+h) - f(3-h)}{h}}$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f(x)$[/STEP]

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f(x)$ เทียบกับ $x$ ในช่วง $-1$ ถึง $1$ คือ

\begin{eqnarray*}
\frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} &=& \frac{(1 + a + b) - (-1 - a + b)}{2}\\
&=& \frac{2 + 2a}{2}\\
&=& \frac{\cancel{2}(1+a)}{\cancel{2}}\\
&=& 1 + a
\end{eqnarray*}

โจทย์กำหนดว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f(x)$ เทียบกับ $x$ ในช่วง $-1$ ถึง $1$ เท่ากับ $-2$

เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
1 + a &=& -2\\
a &=& -3
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาอินทิกรัลแบบจำกัดเขต[/STEP]

จาก $a = -3$ เราจึงได้ $f(x) = x^3 - 3x + b$

หา $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) dx$

\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1} ( x^3 - 3x + b) dx &=& \left [ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + bx \right ]_{-1}^{1}\\
&=& \left ( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + b \right ) - \left ( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - b \right )\\
&=& \left ( \cancel{\frac{1}{4}} - \cancel{\frac{3}{2}} + b \right ) - \left ( \cancel{\frac{1}{4}} - \cancel{\frac{3}{2}} - b \right )\\
&=& 2b
\end{eqnarray*}

โจทย์กำหนดว่า $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) dx = 2$ แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
2b &=& 2\\
b &=& 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f(x) = x^3 - 3x + 1$

[STEP]พิจารณานิยามของอนุพันธ์ในรูปลิมิต[/STEP]

นิยามของ $f'(x)$ นั้นคือ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}$

แสดงว่า  $$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3+h) - f(3)}{h}} = f'(3) = \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3) - f(3 - h)}{h}}$$

เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3+h) - f(3)}{h}} + \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3) - f(3 - h)}{h}} &=& f'(3) + f'(3)\\
\lim_{h \rightarrow 0} \left( {\frac{f(3+h) - f(3)}{h}} + {\frac{f(3) - f(3 - h)}{h}} \right) &=& 2 f'(3)\\
\lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3+h) - \cancel{f(3)} + \cancel{f(3)} - f(3 - h)}{h}} &=& 2 f'(3)\\
\lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3+h) - f(3-h)}{h}} &=& 2 f'(3)
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $f'(3)$[/STEP]

จาก $f(x) = x^3 - 3x + 1$

จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 3x^2 - 3\\
f'(3) &=& 3(9) - 3\\
&=& 27 - 3\\
&=& 24
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(3+h) - f(3-h)}{h}} &=& 2 f'(3)\\
&=& 2 (24)\\
&=& 48
\end{eqnarray*}

[ANS]$48$[/ANS]

นิยามของอนุพันธ์ในรูปลิมิต นอกจาก $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}$ แล้ว ยังใช้ $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{f(x) - f(x - h)}{h}}$ ได้เช่นกัน

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์ สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต