กำหนดให้ $\displaystyle A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ a & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right]$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $A A^t = 9I$ เมื่อ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ $3 \times 3$ แล้ว จงหาค่าของ $a^2 - b^2$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาการคูณเมทริกซ์ $A A^t$[/STEP]

จากเมทริกซ์ $\displaystyle A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ a & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right]$

จะได้ $\displaystyle A^t = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & 1 \\ -2 & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right]$

คูณกันเป็น

\begin{eqnarray*}
A A^t &=& \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ a & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & 1 \\ -2 & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right]
\end{eqnarray*}

แต่เราจะไม่คูณให้ครบทั้งหมด $9$ ตำแหน่ง เพราะจะเสียเวลามาก

[STEP]พิจารณาสมการ $A A^t = 9I$[/STEP]

จากสมการ $A A^t = 9I$

$I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ $\displaystyle I = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
\left[ \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ a & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & 1 \\ -2 & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right] &=& \left[ \begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}\right]
\end{eqnarray*}

เราจะหาค่า $a$ และ $b$ แสดงว่าต้องสร้างสมการที่มี $a$ และ $b$ อยู่ด้วย

[STEP]สร้างสมการเพื่อหา $a$ และ $b$[/STEP]

เราเลือกคูณเพื่อหาสมาชิกในแถวที่ $2$ หลักที่ $1$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
2a - 2b + 2 &=& 0 &&\\
a - b + 1 &=& 0 &----& (1)
\end{eqnarray*}

จากนั้นคูณเพื่อหาสมาชิกในแถวที่ $3$ หลักที่ $2$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
a + 2b + 4 &=& 0 &----& (2)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

จากระบบสมการ

\begin{eqnarray*}
a - b + 1 &=& 0 &----& (1)\\
a + 2b + 4 &=& 0 &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำสมการ $(2) - (1)$

\begin{eqnarray*}
(a + 2b + 4) - (a - b + 1) &=& 0\\
3b + 3 &=& 0\\
3b &=& -3\\
b &=& -1
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
a - (-1) + 1 &=& 0\\
a + 2 &=& 0\\
a &=& -2
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $a^2 - b^2$[/STEP]

จาก $a = -2$ และ $b = -1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a^2 - b^2 &=& (-2)^2 - (-1)^2\\
&=& 4 - 1\\
&=& 3
\end{eqnarray*}

[ANS]$3$[/ANS]

ข้อนี้ขั้นตอนการทำอาจดูยาว แต่จริงๆ แล้วเนื้อหาง่ายมากครับ แค่การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ และแก้ระบบสมการธรรมดาๆ นี่เอง

ความรู้ที่ใช้ : พื้นฐานเมทริกซ์ การบวกลบและการคูณเมทริกซ์