,

จากเมทริกซ์ $\displaystyle A = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ a & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right]$

จะได้ $\displaystyle A^t = \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & 1 \\ -2 & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right]$

คูณกันเป็น

$$\begin{eqnarray*} A A^t &=& \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ a & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & 1 \\ -2 & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

แต่เราจะไม่คูณให้ครบทั้งหมด $9$ ตำแหน่ง เพราะจะเสียเวลามาก

,

จากสมการ $A A^t = 9I$

$I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ $\displaystyle I = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

นั่นคือ

$$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ a & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & 1 \\ -2 & b & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right] &=& \left[ \begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

เราจะหาค่า $a$ และ $b$ แสดงว่าต้องสร้างสมการที่มี $a$ และ $b$ อยู่ด้วย

,

เราเลือกคูณเพื่อหาสมาชิกในแถวที่ $2$ หลักที่ $1$

จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} 2a - 2b + 2 &=& 0 &&\\ a - b + 1 &=& 0 &----& (1) \end{eqnarray*}$$

จากนั้นคูณเพื่อหาสมาชิกในแถวที่ $3$ หลักที่ $2$

จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} a + 2b + 4 &=& 0 &----& (2) \end{eqnarray*}$$

,

จากระบบสมการ

$$\begin{eqnarray*} a - b + 1 &=& 0 &----& (1)\\ a + 2b + 4 &=& 0 &----& (2) \end{eqnarray*}$$

นำสมการ $(2) - (1)$

$$\begin{eqnarray*} (a + 2b + 4) - (a - b + 1) &=& 0\\ 3b + 3 &=& 0\\ 3b &=& -3\\ b &=& -1 \end{eqnarray*}$$

แทนค่าในสมการ $(1)$

$$\begin{eqnarray*} a - (-1) + 1 &=& 0\\ a + 2 &=& 0\\ a &=& -2 \end{eqnarray*}$$

,

จาก $a = -2$ และ $b = -1$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 &=& (-2)^2 - (-1)^2\\ &=& 4 - 1\\ &=& 3 \end{eqnarray*}$$