กำหนดให้

$\displaystyle A = \arcsin \left( \frac{\sin\theta}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}} \right)$

$B = \arctan (1 - \sin\theta)$

และ $C = \arctan(\sqrt{\sin\theta - \sin^2 \theta})$

เมื่อ $0^o \leq \theta \leq 90^o$

ถ้า $A + B = 2C$ แล้ว จงหา $3 \sin^4 \theta + \cos^4 \theta$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]เทคฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อให้ไม่ติด $\operatorname{arc}$[/STEP]

จะเห็นว่าทั้ง $A, B$ และ $C$ นั้นเป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งถ้านำมาแทนในสมการ $A+B = 2C$ จะแก้ได้ยาก

เราจึงเทคฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อให้หลุดออก ดังนี้

เทค $\sin$ ใน $A$

\begin{eqnarray*}
A &=& \arcsin \left( \frac{\sin\theta}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}} \right)\\
\sin A &=& \frac{\sin\theta}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}}
\end{eqnarray*}

เทค $\tan$ ใน $B$

\begin{eqnarray*}
B &=& \arctan (1 - \sin\theta)\\
\tan B &=& 1 - \sin \theta
\end{eqnarray*}

เทค $\tan$ ใน $C$

\begin{eqnarray*}
C &=& \arctan(\sqrt{\sin\theta - \sin^2 \theta})\\
\tan C &=& \sqrt{\sin\theta - \sin^2 \theta}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาการแก้สมการ $A+B = 2C$[/STEP]

จาก $$A + B = 2C$$

เราเทคฟังก์ชันตรีโกณมิติเข้าไปเพื่อให้สามารถนำข้อมูลจากขั้นตอนที่แล้วมาแทนในสมการได้

ซึ่งเรามี $\sin A, \tan B$ และ $\tan C$ เป็น $\tan$ $2$ ตัว จึงเลือกที่จะเทค $\tan$ เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ

\begin{eqnarray*}
\tan(A+B) &=& \tan (2C)\\
\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} &=& \frac{2 \tan C}{1 - \tan^2 C}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\tan A$ เพื่อแทนค่าในสมการ[/STEP]

จาก $\displaystyle \sin A = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1+\sin^2 \theta}}$

สามารถวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

หาความยาวด้าน $x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& \left( \sqrt{1 + \sin^2 \theta} \right)^2 - \sin^2 \theta\\
&=& 1 + \sin^2 \theta - \sin^2 \theta\\
&=& 1\\
x &=& 1
\end{eqnarray*}

จะได้ $\tan A$ คือ

\begin{eqnarray*}
\tan A &=& \frac{\sin \theta}{x}\\
&=& \frac{\sin \theta}{1}\\
&=& \sin \theta
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่ากลับในสมการแล้วแก้หาคำตอบ[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} &=& \frac{2 \tan C}{1 - \tan^2 C}
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin \theta + (1 - \sin \theta)}{1 - \sin \theta ( 1 - \sin \theta)} &=& \frac{2 \sqrt{\sin \theta - \sin^2 \theta}}{1 - \left( \sqrt{\sin \theta - \sin^2 \theta} \right)^2}\\
\frac{1}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta} &=&  \frac{2 \sqrt{\sin \theta - \sin^2 \theta}}{1 - (\sin \theta - \sin^2 \theta)}\\
\frac{1}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta} &=&  \frac{2 \sqrt{\sin \theta - \sin^2 \theta}}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา $1 - \sin \theta + \sin^2 \theta$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
1 - \sin \theta + \sin^2 \theta &=& \left[ \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right] - \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1\\
&=& \left( \sin \theta - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + 1\\
&=& \left( \sin \theta - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $\displaystyle \left( \sin \theta - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ แสดงว่าไม่เป็น $0$ แน่นอน

[STEP]แก้สมการต่อ[/STEP]

จากสมการ $$\displaystyle \frac{1}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta} =  \frac{2 \sqrt{\sin \theta - \sin^2 \theta}}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta}$$

ตัวส่วนไม่เป็น $0$ แน่นอน เราจึงสามารถตัดได้

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\cancel{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta}} &=&  \frac{2 \sqrt{\sin \theta - \sin^2 \theta}}{\cancel{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta}}\\
1 &=& 2 \sqrt{\sin \theta - \sin^2 \theta}
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
1 &=& 4(\sin \theta - \sin^2 \theta)\\
1 &=& 4 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta\\
4 \sin^2 \theta - 4 \sin \theta +1 &=& 0
\end{eqnarray*}

สังเกตว่าอยู่ในรูปของกำลังสองสมบูรณ์ คือ

\begin{eqnarray*}
(2 \sin \theta)^2 - 2 (2 \sin \theta) (1) + 1^2 &=& 0\\
(2 \sin \theta - 1)^2 &=& 0\\
2 \sin \theta - 1 &=& 0\\
\sin \theta &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\cos \theta$[/STEP]

จาก $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cos^2 \theta &=& 1\\
\cos^2 \theta &=& 1 - \frac{1}{4}\\
\cos^2 \theta &=& \frac{3}{4}\\
\cos \theta &=& \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $3 \sin^4 \theta + \cos^4 \theta$[/STEP]

แทนค่า $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$ และ $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

\begin{eqnarray*}
3 \sin^4 \theta + \cos^4 \theta &=& 3 \left( \frac{1}{2} \right)^4 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^4\\
&=& 3 \left( \frac{1}{16} \right) + \frac{9}{16}\\
&=& \frac{12}{16}\\
&=& \frac{3}{4}
\end{eqnarray*}

[ANS]$0.75$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติ สูตรผลรวมและผลต่างมุม อัตราส่วนตรีโกณมิติบนสามเหลี่ยมมุมฉาก เทคนิคการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแก้สมการพหุนามกำลังสอง