จงหาค่าของ $\displaystyle \int_{-4}^{-2} \frac{x^3 + x^2 + x}{x |x+2| - x^2 - 2} dx$

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $|x+2|$[/STEP]

เนื่องจาก 

$$\displaystyle |x+2| = \left\{ \begin{array}{cc}
x+2 & ; & x\geq -2\\
-(x+2) & ; & x < -2
\end{array}\right.$$

ข้อนี้เราต้องการอินทิเกรตจาก $-4$ ถึง $-2$ ซึ่งเป็นช่วงที่ $x < -2$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\int_{-4}^{-2} \frac{x^3 + x^2 + x}{x |x+2| - x^2 - 2} dx &=& \int_{-4}^{-2} \frac{x^3 + x^2 + x}{x[-(x+2)] - x^2 - 2} dx\\
&=& \int_{-4}^{-2} \frac{x^3 + x^2 + x}{-x^2 - 2x - x^2 - 2} dx\\
&=& \int_{-4}^{-2} \frac{x^3 + x^2 + x}{-2x^2 - 2x - 2} dx
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปแล้วอินทิเกรต[/STEP]

จัดรูปโดยการดึงตัวร่วม

\begin{eqnarray*}
\int_{-4}^{-2} \frac{x^3 + x^2 + x}{-2x^2 - 2x - 2} dx &=& \int_{-4}^{-2} \frac{x(x^2 + x + 1)}{-2(x^2 + x + 1)} dx\\
&=& \int_{-4}^{-2} \frac{x(\cancel{x^2 + x + 1})}{-2(\cancel{x^2 + x + 1})} dx\\
&=& \int_{-4}^{-2} \frac{x}{-2} dx\\
&=& -\frac{1}{2} \int_{-4}^{-2} x dx
\end{eqnarray*}

อินทิเกรต จะได้

\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{2} \int_{-4}^{-2} x dx &=& -\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-4}^{-2}\\
&=& -\frac{1}{2} \left [ \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-4)^2}{2} \right]\\
&=& -\frac{1}{2} (2 - 8)\\
&=& 3
\end{eqnarray*}

[ANS]$3$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ค่าสัมบูรณ์และสมบัติ การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต