กำหนดให้

$\displaystyle A = \frac{2}{\sqrt[4]{3}} - \sqrt[4]{3}$

$\displaystyle B = \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}}$

และ $\displaystyle C = \frac{2}{\sqrt{3} \left( \sqrt[4]{3} + \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \right)} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

แล้ว ค่าของ $A - B + C$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $A$[/STEP]

จาก $$\displaystyle A = \frac{2}{\sqrt[4]{3}} - \sqrt[4]{3}$$

เราจัดรูปโดยการคูณพจน์หน้าด้วย $\displaystyle \frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[4]{3^3}}$ เพื่อให้ตัวส่วนหลุดจากรากที่ $4$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
A &=& \left( \frac{2}{\sqrt[4]{3}} \times \frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[4]{3^3}} \right)  - \sqrt[4]{3}\\
&=& \frac{2 \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3^4}} - \sqrt[4]{3}\\
&=& \frac{2 \sqrt[4]{27}}{3} - \sqrt[4]{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูป $B$[/STEP]

จาก $$\displaystyle B = \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3} - \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}}$$

จะเห็นว่า $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
B &=& \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3} - \frac{1}{\sqrt[4]{3}}}\\
&=& \frac{\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt[4]{3^2} - 1}{\sqrt[4]{3}}}\\
&=& \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^2} - 1}
\end{eqnarray*}

เราจะได้ว่า $\sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
B &=& \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{3} - 1}\\
&=& \frac{2 \sqrt[4]{3}}{3 - \sqrt{3}}
\end{eqnarray*}

คูณด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน

\begin{eqnarray*}
B &=& \frac{2 \sqrt[4]{3}}{3 - \sqrt{3}} \times \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\\
&=& \frac{2 \sqrt[4]{3} (3 + \sqrt{3})}{9 - 3}\\
&=& \frac{\cancel{2} \sqrt[4]{3} (3 + \sqrt{3})}{\cancelto{3}{6}}\\
&=& \frac{\sqrt[4]{3} (3 + \sqrt{3})}{3}
\end{eqnarray*}

เราเปลี่ยน $\sqrt{3} = \sqrt[4]{3^2}$ แล้วกระจาย $\sqrt[4]{3}$ เข้าในวงเล็บ

\begin{eqnarray*}
B &=& \frac{3 \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{3^3}}{3}\\
&=& \frac{3 \sqrt[4]{3}}{3} + \frac{\sqrt[4]{27}}{3}\\
&=& \sqrt[4]{3} + \frac{\sqrt[4]{27}}{3}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูป $C$[/STEP]

จาก $$\displaystyle C = \frac{2}{\sqrt{3} \left( \sqrt[4]{3} + \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \right)} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}$$

จัดรูป $\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[4]{3}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
C &=& \frac{2}{\sqrt{3} \left( \sqrt[4]{3} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \right)} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3} + \frac{1}{\sqrt[4]{3}}} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt[4]{3^2} + 1}{\sqrt[4]{3}}}  + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^2} + 1} \right)  + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}
\end{eqnarray*}

เราจะได้ว่า $\sqrt[4]{3^2} = \sqrt{3}$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
C &=& \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{3} + 1} \right)  + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \frac{2 \sqrt[4]{3}}{3 + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}
\end{eqnarray*}

พจน์หน้าคูณด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน

\begin{eqnarray*}
C &=& \left( \frac{2 \sqrt[4]{3}}{3 + \sqrt{3}} \times \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \right) + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \frac{2 \sqrt[4]{3} ( 3 - \sqrt{3})}{9 - 3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \frac{\cancel{2} \sqrt[4]{3} ( 3 - \sqrt{3})}{\cancelto{3}{6}} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \frac{\sqrt[4]{3} ( 3 - \sqrt{3})}{3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}
\end{eqnarray*}

เราเปลี่ยน $\sqrt{3} = \sqrt[4]{3^2}$ แล้วกระจาย $\sqrt[4]{3}$ เข้าในวงเล็บ

\begin{eqnarray*}
C &=& \frac{3 \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{3^3}}{3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \frac{3 \sqrt[4]{3}}{3} - \frac{\sqrt[4]{3^3}}{3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \sqrt[4]{3} - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $A - B + C$[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
A &=& \frac{2 \sqrt[4]{27}}{3} - \sqrt[4]{3}\\
B &=& \sqrt[4]{3} + \frac{\sqrt[4]{27}}{3}\\
C &=& \sqrt[4]{3} - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
A - B + C &=& \frac{2 \sqrt[4]{27}}{3} - \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{3} - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \sqrt[4]{3} - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& \cancel{\frac{2 \sqrt[4]{27}}{3}} - \sqrt[4]{3} - \cancel{\sqrt[4]{3}} - \cancel{\frac{\sqrt[4]{27}}{3}} + \cancel{\sqrt[4]{3}} - \cancel{\frac{\sqrt[4]{27}}{3}} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}\\
&=& - \sqrt[4]{3} + \frac{3}{\sqrt[4]{27}}
\end{eqnarray*}

จัดรูป $\displaystyle  \frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

\begin{eqnarray*}
\frac{3}{\sqrt[4]{27}} &=&  \frac{3}{\sqrt[4]{3^3}}\\
&=&  \frac{3}{\sqrt[4]{3^3}} \times \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}\\
&=& \frac{3 \sqrt[4]{3}}{3}\\
&=& \sqrt[4]{3}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
A - B + C &=& -\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{3}\\
&=& 0
\end{eqnarray*}

[ANS]$0$[/ANS]

ข้อนี้ไม่มีเนื้อหาอะไรมาก แต่การจัดรูปถือว่าโหดเอาการเลย

ความรู้ที่ใช้ : เลขยกกำลัง-สมบัติและการจัดรูป รากที่ 2 และรากที่ n คอนจูเกทและการจัดรูปรากที่ 2