,

จะเห็นว่า ข้อ (ก) ต้องการเปรียบเทียบค่าระหว่าง $m+n$ และ $r + s$

แสดงว่าเราต้องนำข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้มาทำให้เกิด $m+n$ และ $r+s$ ให้ได้

จาก

$$\begin{eqnarray*} a^m &=& b^n \end{eqnarray*}$$

นำ $b^m$ คูณทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $m+n$ เข้ามา

$$\begin{eqnarray*} a^m b^m &=& b^n b^m\\ (ab)^m &=& b^{m+n} \end{eqnarray*}$$

ให้ทำนองเดียวกัน จาก

$$\begin{eqnarray*} a^r &=& b^s \end{eqnarray*}$$

นำ $b^r$ คูณทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $r+s$ เข้ามา

$$\begin{eqnarray*} a^r b^r &=& b^s b^r\\ (ab)^r &=& b^{r+s} \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $a > 1$ และ $b > 1$ แสดงว่า $ab > 1$ ด้วย

และจาก $1 < m < r$ จะได้ว่า $(ab)^m < (ab)^r$ เพราะจำนวนที่มีค่ามากกว่า $1$ เลขชี้กำลังยิ่งมาก ค่าจะยิ่งมากตาม

นั่นคือ

$$\begin{eqnarray*} (ab)^m &<& (ab)^r\\ b^{m+n} &<& b^{r+s}\\ m+n &<& r+s \end{eqnarray*}$$

เพราะฉะนั้น (ก) ถูกต้อง

,

เนื่องจาก $a > 1$ และ $1 < m < r$ จะได้ว่า

$$a^m < a^r$$

โจทย์กำหนดว่า $a^m = b^n$ และ $a^r = b^s$ เราจึงได้ว่า

$$b^n < b^s$$

เพราะ $b > 1$ เราจึงสรุปได้ว่า $n < s$

จาก $m < r$ เราได้ว่า $$m^n < r^n$$

และจาก $n < s$ เราได้ว่า $$r^n < r^s$$

สมบัติถ่ายทอดทำให้เราสรุปได้ว่า $$m^n < r^s$$

เพราะฉะนั้น (ข) ถูกต้อง

,

จาก (ข) เราได้ว่า $n<s$ แสดงว่า $$\displaystyle \frac{n}{s} < 1$$

จำนวนจริงบวกที่น้อยกว่า $1$ เลขชี้กำลังยิ่งมาก ยิ่งมีค่าน้อย

แสดงว่า จาก $1 < m < r$ จะได้ว่า $$\displaystyle \left( \frac{n}{s} \right)^m > \left( \frac{n}{s} \right)^r$$

เพราะฉะนั้น (ค) ถูกต้อง