กล่องใบหนึ่งบรรจุลูกแก้วสีขาว $3$ ลูก สีแดง $2$ ลูก และสีเขียว $3$ ลูก หยิบลูกแก้วอย่างสุ่มครั้งละลูก ทั้งหมด $8$ ครั้งโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะหยิบครั้งแรกได้สีขาวหรือหยิบครั้งที่ $8$ ไม่ได้สีแดง เท่ากับข้อใด

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาแซมเปิลสเปซ[/STEP]

หยิบลูกแก้ว $8$ ลูก จากกล่อง หยิบครั้งละ $1$ ลูก แบบไม่ใส่คืน จึงได้ $$n(S) = 8!$$

[STEP]พิจารณาขั้นตอนการหา $n(E)$[/STEP]

เราสนใจเหตุการที่จะหยิบครั้งแรกได้สีขาวหรือหยิบครั้งที่ $8$ ไม่ได้สีแดง

กำหนดให้

เหตุการณ์ $E$ แทนหยิบครั้งแรกได้สีขาวหรือหยิบครั้งที่ $8$ ไม่ได้สีแดง

เหตุการณ์ $E_1$ แทนหยิบครั้งแรกได้สีขาว

เหตุการณ์ $E_2$ แทนหยิบครั้งที่ $8$ ไม่ได้สีแดง

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
E &=& E_1 \cup E_2\\
n(E) &=& n(E_1) + n(E_2) - n(E_1 \cap E_2)
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $n(E_1)$[/STEP]

$E_1$ คือเหตุการณ์ที่หยิบครั้งแรกได้สีขาว

หยิบครั้งแรกได้สีขาว เลือกสีขาว $1$ ลูก จาก $3$ ลูก จะได้ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1\end{array} \right) = 3$ วิธี

ที่เหลืออีก $7$ ครั้ง ไม่มีเงื่อนไขใดๆ จึงหยิบได้ $7!$ วิธี

ดังนั้น $$\displaystyle n(E_1) = 3 \times 7!$$

[STEP]หา $n(E_2)$[/STEP]

$E_2$ คือเหตุการที่หยิบครั้งที่ $8$ ไม่ได้สีแดง

ครั้งที่ $8$ เลือกจากสีที่ไม่ใช่สีแดง ซึ่งมีอยู่ $6$ ลูก หยิบ $1$ ลูก ได้ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} 6 \\ 1\end{array} \right) = 6$ วิธี

ที่เหลืออีก $7$ ครั้ง ไม่มีเงื่อนไขใดๆ จึงหยิบได้ $7!$ วิธี

ดังนั้น $$\displaystyle n(E_2) = 6 \times 7!$$

[STEP]หา $n(E_1 \cap E_2)$[/STEP]

$E_1 \cap E_2$ คือเหตุการณ์ที่หยิบครั้งแรกได้สีขาวและหยิบครั้งที่ $8$ ไม่ได้สีแดง

หยิบครั้งแรกได้สีขาว เลือกสีขาว $1$ ลูก จาก $3$ ลูก จะได้ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1\end{array} \right) = 3$ วิธี

หยิบครั้งที่ $8$ ไม่ได้สีแดง จะเหลือที่ไม่ใช่สีแดงอยู่ $5$ ลูก (สีขาวถูกหยิบไปแล้ว $1$ ลูก) จะได้ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} 5 \\ 1\end{array} \right) = 5$ วิธี

ที่เหลืออีก $6$ ครั้ง ไม่มีเงื่อนไขใดๆ จึงหยิบได้ $6!$ วิธี

ดังนั้น $$\displaystyle n(E_1 \cap E_2) = 3 \times 5 \times 6! = 15 \times 6!$$

[STEP]หา $n(E)$[/STEP]

จาก $$n(E) = n(E_1) + n(E_2) - n(E_1 \cap E_2)$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
n(E) &=& (3 \times 7!) + (6 \times 7!) - (15 \times 6!)\\
&=& (9 \times 7!) - (15 \times 6!)
\end{eqnarray*}

แยก $7! = 7 \times 6!$

\begin{eqnarray*}
n(E) &=& (9 \times 7 \times 6!) - (15 \times 6!)\\
&=& (63 \times 6!) - (15 \times 6!)\\
&=& 48 \times 6!
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $P(E)$[/STEP]

จาก $$\displaystyle P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{48 \times 6!}{8!}\\
&=& \frac{48 \times 6!}{8 \times 7 \times 6!}\\
&=& \frac{\cancelto{6}{48} \times \cancel{6!}}{\cancel{8} \times 7 \times \cancel{6!}}\\
&=& \frac{6}{7}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\displaystyle \frac{6}{7}$[/ANS]

โจทย์ความน่าจะเป็นที่ต้องใช้ความรู้เรื่องเซตมักออกข้อสอบอยู่บ่อยๆ ขั้นตอนการทำไม่ยาก แต่ต้องคิดหลายขั้น ควรฝึกวิธีการคำนวณพวกแฟกทอเรียล และ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} n \\ r\end{array} \right)$ ให้ได้ไวๆ นะครับ

ความรู้ที่ใช้ : การเลือกและการจัดกลุ่ม โจทย์ปัญหาสูตรยูเนียน การเรียงสับเปลี่ยน ความน่าจะเป็น กฏการนับ โจทย์ความน่าจะเป็นที่ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แฟกทอเรียล